Veröffentlicht am

Bewegung auf einer schiefen Ebene mit Reibung

  1. Eine schiefe Ebene, ist eine Oberfläche, die nicht parallel zur horizontalen Achse des Bezugssystems aufliegt, sondern einen bestimmten Winkel $\alpha$ mit der horizontalen Achse einschließt. Die schiefe Ebene wird also durch den Winkel $\alpha$ bestimmt!
    Schiefe Ebene
    Abbildung 1: Die relevanten Kräfte auf einer schiefen Ebene. $F_g$ ist die Gewichtskraft des Objekts, $F_P$ ist die Komponente der Gewichtskraft, die parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene zeigt, $F_N$ ist die Normalkomponente der Gewichtskraft, die senkrecht zur Oberfläche der schiefen Eben zeigt. $F_P$ und $F_N$ hängen stark vom Winkel $\alpha$ ab.
  2. Falls sich ein Objekt auf einer schiefen Ebene befindet, dann muss auch die Masse des Objekts, die zur Gewichtskraft $F= m \cdot g$ führt und immer zum Erdmittelpunkt zeigt berücksichtigt werden.
  3. Die obigen Punkte definieren uns auch gleichzeitig ein geeignetes Bezugssystem, um die Aufgaben zur schiefen Ebene zu lösen. Die x-Achse ist die horizontale waagerechte Achse parallel zur Erdoberfläche. Die y-Achse ist die senkrechte Achse, die entlang der Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt zeigt.

Betrachtung mit Haftreibung

  1. Wenn ein Objekt auf einer schiefen Ebene ruht, d. h. sich nicht bewegt, dann verwenden wir die Normalkomponente ($F_N$) der Gewichtskraft zur Bestimmung der Größe Haftreibung. Die Richtung der Haftreibung ist antiparallel zur Parallelkomponente ($F_P$) der Gewichtskraft.
  2. Falls die beschleunigende Kraft (hier die Parallelkomponenten der Gewichtskraft) größer ist als die Haftreibung, dann setzt sich das Objekt in Bewegung, d. h. $$\begin{aligned}F_P &> F_{Haft} \\ F_G \cdot sin (\alpha) &> \mu_H \cdot F_N \\ F_G \cdot sin (\alpha) &> \mu_H \cdot F_G \cdot cos (\alpha) \\ sin (\alpha) &> \mu_H \cdot cos (\alpha) \\ \frac{sin (\alpha)}{cos (\alpha)} &> \mu_H \\ tan(\alpha) &> \mu_H \end{aligned} $$ Die letzte Zeile besagt, dass sich ein Objekt auf einer schiefen Ebene erst dann in Bewegung setzt, wenn der Tangens des Winkels der schiefen Ebene größer ist als der Haftreibungskoeffizient des Objekts auf der schiefen Ebene. In dieser Ungleichung kommt die Masse m des Objekts überhaupt nicht vor. Dies bedeutet, dass die Masse des Objekts für die Betrachtung der Haftreibung auf einer schiefen Ebene irrelevant ist.
  3. Nimm dir einen Stift und ein Blatt Papier und versuche die Beziehung $tan (\alpha) > \mu_H$ selber herzuleiten. Das ist eine wichtige Übung und trainiert deine Fähigkeit mit Formeln umzugehen.

Betrachtung mit Gleitreibung

  1. Wenn sich ein Objekt auf einer schiefen Ebene bewegt, z. B. es rollt hinunter, dann verwenden wir die Normalkomponente ($F_N$) der Gewichtskraft zur Bestimmung der Größe Gleitreibung. Die Richtung der Gleitreibung ist antiparallel zur Parallelkomponente ($F_P$) der Gewichtskraft.
  2. Um die Effekte der Gleitreibung auf einer schiefen Eben zu betrachten benötigen wir die Gesamtkraft, d. h. die Summe aus der beschleunigenden Kraft (hier die Parallelkomponenten der Gewichtskraft) und der Gleitreibungskraft $F_{Gleit}$, d. h. $$\begin{aligned} F_P + F_{Gleit} &= m a \\ F_G \cdot sin (\alpha) + \mu_G \cdot F_N &= m a \\ F_G \cdot sin (\alpha) + \mu_G \cdot F_G \cdot cos (\alpha) &= m a \\ mg \cdot sin (\alpha) + \mu_G \cdot mg \cdot cos (\alpha) &= m a \\ g \cdot sin (\alpha) + \mu_G \cdot g \cdot cos (\alpha) &= a \\ g \cdot (sin (\alpha) + \mu_G \cdot cos (\alpha) ) &= a \end{aligned} $$ Die letzte Zeile beschreibt die Beschleunigung eines Objekts auf einer schiefen Ebene. Diese Gleichung besagt, dass die Masse des Objekts für die Beschleunigung irrelevant ist. Die Beschleunigung eines Objekts auf einer schiefen Ebene wird allein durch den Winkel der schiefen Ebene, den Gleitreibungskoeffizienten und die Erdbeschleunigung bestimmt. Auf dem Mond würden wir natürlich die Mondbeschleunigung einsetzen.
  3. Nimm dir einen Stift und ein Blatt Papier und versuche die Beziehung $g \cdot (sin (\alpha) + \mu_G \cdot cos (\alpha) )= a$ selber herzuleiten. Das ist eine wichtige Übung und trainiert deine Fähigkeit mit Formeln umzugehen.

Zur Lernkontrolle

Veröffentlicht am

Bewegung auf einer schiefen Ebene

  1. Eine schiefe Ebene, ist eine Oberfläche, die nicht parallel zur horizontalen Achse des Bezugssystems aufliegt, sondern einen bestimmten Winkel $\alpha$ mit der horizontalen Achse einschließt. Die schiefe Ebene wird also durch den Winkel $\alpha$ bestimmt!
    Schiefe Ebene
    Abbildung 1: Die relevanten Kräfte auf einer schiefen Ebene. $F_g$ ist die Gewichtskraft des Objekts, $F_P$ ist die Komponente der Gewichtskraft, die parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene zeigt, $F_N$ ist die Normalkomponente der Gewichtskraft, die senkrecht zur Oberfläche der schiefen Eben zeigt. $F_P$ und $F_N$ hängen stark vom Winkel $\alpha$ ab.
  2. Falls sich ein Objekt auf einer schiefen Ebene befindet, dann muss auch die Masse des Objekts, die zur Gewichtskraft $F= m \cdot g$ führt und immer zum Erdmittelpunkt zeigt berücksichtigt werden.
  3. Die obigen Punkte definieren uns auch gleichzeitig ein geeignetes Bezugssystem, um die Aufgaben zur schiefen Ebene zu lösen. Die x-Achse ist die horizontale waagerechte Achse parallel zur Erdoberfläche. Die y-Achse ist die senkrechte Achse, die entlang der Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt zeigt.

Betrachtung ohne Reibungskräfte

  1. Ein Objekt, das sich auf einer schiefen Ebene befindet, bewegt sich entlang dieser Ebene, obwohl die Gewichtskraft nach unten zeigt.
  2. Um die Bewegung eines Objekts entlang der schiefen Ebene zu berücksichtigen, benötigen wir also die Komponente (den Anteil) der Gewichtskraft ($F_G$), die parallel zur schiefen Ebene zeigt.
  3. Wir zerlegen also den Schwerkraftsvektor in eine Richtung parallel zur schiefen Ebene $\vec F_P$ und eine Richtung senkrecht $\vec F_S$ zur schiefen Ebene und erhalten für ihre Längen: $$ F_P = F_G \cdot sin (\alpha) $$ $$ F_N = F_G \cdot cos (\alpha) $$ Wobei für die Gewichtskraft gilt: $$ F_G = -mg $$ Für die Streber der Nation können wir natürlich auch diese Kraftkomponenten als Vektoren angeben und erhalten: $$ \vec F_P = F_G \cdot sin (\alpha) \cdot \begin{pmatrix} -cos (\alpha) \\ -sin(\alpha) \end{pmatrix} $$ $$ \vec F_N = F_G \cdot cos (\alpha) \cdot \begin{pmatrix} sin (\alpha) \\ -cos(\alpha) \end{pmatrix} $$ Wobei für die Gewichtskraft gilt: $$ \vec F_G = \begin{pmatrix} 0 \\ -mg \end{pmatrix} = m \cdot g \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} $$
  4. $\vec F_P$ ist wichtig für die Bewegung des Objekts auf der Ebene.
  5. $\vec F_N$ ist wichtig für die Berücksichtigung der Haft- und Gleitreibung auf der Ebene.

Zur Lernkontrolle

Veröffentlicht am

Wie zerlegt man Vektoren?

  1. Viele physikalische Größen sind Vektoren. Man kann Vektoren addieren und Zerlegen. Eine Zerlegung von Vektoren ist bei vielen physikalischen Fragestellungen hilfreich.
  2. Betrachten wir eine beliebige Zahl, z. B. 6. Diese Zahl können wir immer in zwei Zahlen zerlegen, z. B. 1+5 oder 2+4 oder -1+7, denn die Summe ergibt immer 6. Mit Vektoren können wir genau das gleiche durchführen. Jeder Vektor kann als Summe zweier Vektoren beschrieben werden. Dabei gibt es unzählige Möglichkeiten diese zwei Vektoren anzugeben (s. Abbildung 1a).
    Vektorzerlegung
    Abbildung 1: a: Zerlegung des Vektors v in zwei beliebige Vektoren mit beliebigen Winkeln
    b: Zerlegung des Vektors v in zwei beliebige Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen
  3. In welche zwei Vektoren wir einen Vektor zerlegen, hängt von der Aufgabenstellung und vom Bezugssystem (Koordinatensystem ab). Meist wird versucht einen Vektor in ein rechtwinkeliges Bezugssystem zu zerlegen (s. Abbildung 1b). Bei Wurfaufgaben werden Vektoren in horizontale und vertikale Richtung zerlegt. Bei Aufgaben zur schiefen Ebene werden Vektoren in Richtung parallel und senkrecht zur schiefen Ebene zerlegt.
  4. Vektoren werden durch ihre Länge (auch Betrag genannt) und ihre Richtung bestimmt. Die Richtung wird durch die Aufgabenstellung vorgegeben. Der Betrag lässt sich aus den relevanten Größen in Dreiecken herleiten, wie z. B. Sinus, Kosinus und der Kosinussatz.
  5. Betrachten wir nun die Zerlegung des Vektors $\vec v$ in der Abbildung 1b, wobei wir eine Zerlegung in zwei Vektoren $\vec {v_1}$ und $\vec {v_2}$ vornehmen, die senkrecht aufeinander stehen (d. h. $\alpha + \beta = 90 \degree$)
    Es gilt: $$\sin (\alpha) = \frac {v_1}{v} = \cos (\beta)$$ und $$\cos (\alpha) = \frac {v_2}{v} = \sin (\beta)$$ Für die Länge der Zerlegungskomponenten gilt also $$v_1 = v \cdot \sin (\alpha) = v \cdot \cos (\beta)$$ bzw. $$v_2 = v \cdot \cos (\alpha) = v \cdot \sin (\beta)$$

Zur Lernkontrolle