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Vektorielle Betrachtung von Arbeit, Energie und Impuls

Vektorielle Betrachtung von Impuls

  1. Viele physikalische Größen sind Vektoren. Ein Vektor ist eine Größe, die eine Richtung und eine Länge hat (wie ein Pfeil mit einer Richtung und einer Länge).
  2. In Kapitel 2 haben wir gelernt, dass Kräfte Vektoren sind, da diese sowohl einen Betrag (Länge) als auch eine Richtung vorweisen.
  3. Nun betrachten wir den Impuls $$p= F \cdot t$$Die Kraft $F$ ist ein Vektor, d. h. $$\vec{F} = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix}$$Die Zeit t hingegen ist eine Zahl (Mathematiker bezeichnen Zahlen als skalare Größen)
    Wir bilden den Impuls, indem wir die Koordinaten des Kraftvektors mit der Zeit t multiplizieren, d.h. $$\vec{p} = \begin{pmatrix} F_x \cdot t \\ F_y \cdot t \\ F_z \cdot t \end{pmatrix}$$Wie man leicht erkennen kann, ist auch der Impuls ein Vektor!
  4. Wenn eine vektorielle Größe mit einer Zahl multipliziert wird, dann erhalten wir wieder einen Vektor!

Vektorielle Betrachtung von Arbeit

    Skalarprodukt
    Abbildung 1: Zwei Beispiele bei denen die wirkende Kraft F (blau) und die Bewegung s (grün) nicht gleichgerichtet sind.
    a) Ein Waggon auf Schienen wird mit Kraft F (blau) schräg zur Schienenrichtung gezogen. Die Bewegung erfolgt entlang der Schiene.
    b) Die Bewegung eines Objekts auf einer schiefen Ebene erfolgt in Richtung der Schräge s und nicht in Richtung der einwirkenden Gewichtskraft F (blau).
    In beiden Fällen muss die Kraft F in seine Bestandteile zerlegt werden, um die Kraft $F_{||}$ (rot) parallel zur Bewegungsrichtung zu bestimmen. Für die verrichtete Arbeit gilt in beiden Fällen $W = \vec F \cdot \vec s = F_{||} \cdot s$
  1. Wir haben gesehen, dass der Impuls eine vektorielle Größe ist, weil die Kraft ein Vektor ist.
  2. Die Arbeit hingegen ist eine skalare Größe d. h. eine Zahl und KEIN VEKTOR! Das Gleiche gilt auch für die Energie. Aber warum? Schließlich ist Arbeit $$W = F \cdot s$$ und F ist doch auch ein Vektor.
  3. Korrekt: F ist ein Vektor, aber s auch! Die Verschiebung s kann nach rechts, links, oben oder schräg erfolgen. Die Verschiebung s ist also ebenfalls ein Vektor, da sie eine Richtung besitzt.
  4. Wir haben es bei der Arbeit und der Energie also mit dem Produkt von zwei Vektoren zutun (s. Abbildung 1). Dafür haben wir in der letzten Lektion das Skalarprodukt kennen gelernt.
  5. Die Arbeit ist das Skalarprodukt der Kraft und der Strecke, d.h. $$W = \vec F \cdot \vec s$$Und wenn $\vec{F} = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix}$ und $\vec{s} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, dann gilt $$W = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = F_x \cdot x +F_y \cdot y + F_z \cdot z$$

Vektorielle Betrachtung von Leistung

  1. Analog zur Arbeit ist auch die Leistung eine skalare Größe d. h. eine Zahl und kein Vektor!
  2. Darauf kann man auf zwei Wege kommen:
    Weg 1: $P= \frac W t$ muss ein Skalar sein, da sowohl W als auch t skalare Größen sind.
    Weg 2: $P= \vec F \cdot \vec v$ ist das Skalarprodukt der Kraft- und Geschwindigkeitsvektors und daher eine skalare Größe (d.h. eine Zahl und kein Vektor).

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Was ist ein Vektor?

  1. Viele physikalische Größen sind Vektoren. Ein Vektor ist eine Größe, die eine Richtung und eine Länge hat (wie ein Pfeil mit einer Richtung und einer Länge).
    Vektoren
    Abbildung 1: Verschiedene zweidimensionale Vektoren
  2. Die Länge eines Vektors $\vec{v}$ wird auch als sein Betrag bezeichnet und mit $\lvert \vec{v} \rvert$ oder $\lVert \vec{v} \rVert$ dargestellt. Wenn wir keinen Vektorpfeil verwenden, meinen wir auch nur den Betrag des Vektors.
  3. Ein Vektor mit der Länge 1 wird als Einheitsvektor bezeichnet.
  4. Wenn man einen Vektor durch seine Länge dividiert, erhält man einen Einheitsvektor, d. h. einen Vektor mit der Länge 1 und mit der gleichen Richtung des ursprünglichen Vektors.
  5. Vektoren im Raum werden durch ihre Koordinaten angegeben, die man unter einander in Klammern schreibt.
    • Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}$ ist ein zweidimensionaler Vektor.
    • Beispiel: $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ ist ein dreidimensionaler Vektor.
  6. Ein Vektor kann mit einer Zahl k multipliziert werden. Dabei werden alle Koordinaten des Vektors mit der Zahl k multipliziert. Der resultierende Vektor zeigt in die gleiche Richtung, hat aber die k-fache Länge des Ursprungsvektors.
    • Beispiel: $5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} $. Der Vektor $\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$ hat die 5-fache Länge des Vektors $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
  7. Um die Länge eines Vektors zu bestimmen, quadrieren wir alle Koordinaten, addieren diese und ziehen anschließend die Wurzel. Für den Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ ist der Betrag (die Länge) $\lvert \vec{v} \rvert = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
    • Beispiel: $\lvert \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \rvert = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} =5$.
  8. Es existieren zwei Arten von Vektoren:

  9. Richtungsvektoren sind freie Vektoren, die jeden Anfangs- und Endpunkt haben können. Richtungsvektoren, die gleiche Koordinaten haben, aber unterschiedliche Anfangspunkte sind parallel zu einander. Betrachten wir nun einen Richtungsvektor, der die Punkte $A(x_1,y_1)$ und $B(x_2,y_2)$ miteinander verbindet. Dieser Vektor (nennen wir ihn $\vec{AB}$ hat die Koordinaten $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}$$
  10. Ortsvektoren oder Positionsvektoren sind feste Vektoren, die immer vom Ursprung des Koordinatensystem O(0,0) beginnen und an einem beliebigen Punkt enden können. Der Endpunkt hat dabei die gleichen Koordinaten wie der Ortsvektor, da z. B. für den Ortsvektor zum Punkt $P (x,y)$ gilt: $$\vec{PO} = \begin{pmatrix} x-0 \\ y-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ Beispiel: der Ortsvektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ verbindet den Anfangspunkt O(0,0) mit dem Endpunkt P(2,-1).
  11. Zusammenfassend können wir für einen Vektor, der zwei Punkte $A(x_1,y_1)$ und $B(x_2,y_2)$ miteinander verbindet, schreiben $$\vec{AB} = \vec{OA}-\vec{OB} = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \end{pmatrix}$$

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