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Verwendung der Energieerhaltung bei schiefen Ebenen mit Reibung

  1. In Kapitel 4 haben wir gelernt, warum in einem abgeschlossenen System, die Energie erhalten bleibt. In dieser Lektion werden wir die Energieerhaltung auf Aufgaben bezüglich der schiefen Ebene anwenden. Dabei werden wir die Gleitreibung berücksichtigen. Folgende Begriffe und Größen musst du kennen:
      Kinetische und potenzielle Energie (Kapitel 4)
      Schiefe Ebene (Kapitel 3) und
      trigonometrische Funktionen (Kapitel 3)
  2. Wir haben in Kapitel 3 die Gleitreibungskraft auf einer schiefen Ebene hergeleitet . Wenn ein Objekt auf einer schiefen Ebene ruht, d. h. sich nicht bewegt, dann verwenden wir die Normalkomponente ($F_N$) der Gewichtskraft zur Bestimmung der Größe Haftreibung. Die Richtung der Haftreibung ist antiparallel zur Parallelkomponente ($F_P$) der Gewichtskraft (s. Abbildung 1).
    Schiefe Ebene
    Abbildung 1: Die relevanten Kräfte auf einer schiefen Ebene. $F_g$ ist die Gewichtskraft des Objekts, $F_P$ ist die Komponente der Gewichtskraft, die parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene zeigt, $F_N$ ist die Normalkomponente der Gewichtskraft, die senkrecht zur Oberfläche der schiefen Eben zeigt. $F_P$ und $F_N$ hängen stark vom Winkel $\alpha$ ab.
  3. Welche Konsequenz hat die Reibung für die Energieerhaltung? Wir kennen ja alle den Begriff „Reibungsverlust“. Es besagt, dass die Energie aus dem System verloren geht. Dann kann aber das System nicht mehr als abgeschlossen betrachtet werden. Wenn wir aber die Menge an Energie, die durch Reibung verloren geht kennen, können wir wieder mit dem Energieerhaltungssatz rechnen. Dabei ziehen wir diese „Reibungsverluste“ einfach aus der Gesamtenergie ab. Folgendes Beispiel soll dies anschaulich darstellen.
  4. Beispiel: Rutschen auf einer schiefen Ebene mit Reibung
    Ein Objekt mit einer Masse von 100 [kg] rutscht auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel $\alpha = 30 \degree$) aus einer Höhe von $h=20 [m]$ hinunter. Mit welcher Geschwindigkeit $v$ kommt das Objekt unten an, wenn der Gleitreibungskoeffizient $\mu_G = 0,5$ beträgt?

    Gegeben und gesucht:
    Die Starthöhe $h=20[m]$, der Neigungswinkel der schiefen Ebene $\alpha = 30 \degree$, der Gleitreibungskoeffizient $\mu_G =0,5$ und die Masse des Objekts $m=100 [kg]$ sind angegeben. Gesucht ist die Aufprallgeschwindigkeit, d. h. die Geschwindigkeit unten am Fuß der schiefen Ebene ($h=0[m]$).

    Passende Formel:
    Oben ($h=20 [m]$) hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot}= mgh$.
    Unten ($h=0 [m]$) hat das Objekt nur die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$.
    Entlang der zurückgelegte Strecke $s$ verliert das Objekt durch die Gleitreibung die Reibungsenergie $E_R= F_R \cdot s$. Anwendung der Herleitung der Gleitreibungskraft in Kapitel 3 liefert $E_R = \mu_G \cdot mg \cos (\alpha) \cdot s $
    Abbildung 2 zeigt, dass für die zurückgelegte Strecke $s$ auf der schiefen Ebene gilt: $s = h / \sin(\alpha)$. Einsetzen liefert $$\begin{aligned} E_R &= F_R \cdot s \\ &= \mu_G \cdot mg \cos (\alpha) \frac {h}{\sin(\alpha)} \end{aligned}$$ Aus Kapitel 2 wissen wir, dass $\frac {\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cot (\alpha)$. Somit gilt $$E_R= \mu_G \cdot mg \cot (\alpha) \cdot h$$ Die Energieerhaltung besagt nun $E_{pot} – E_R = E_{kin}$, d. h. $$mgh – \mu_G \cdot mg \cot (\alpha) \cdot h= \frac 12 m v^2$$ Die Masse kann gekürzt werden, d.h. $$gh – \mu_G \cdot g \cot (\alpha) \cdot h= \frac 12 v^2$$ Auflösen nach v liefert $$v=\sqrt {2hg- 2 \mu_G \cdot g \cot (\alpha) \cdot h}$$ $$v=\sqrt {2hg (1- \mu_G \cdot \cot (\alpha))}$$ Beachte, dass in dieser Gleichung weder die Masse $m$ noch der Neigungswinkel $\alpha$ vorkommt. Diese Angaben benötigen wir nicht.

    Berechnung:
    Einsetzen der Werte liefert $$v = \sqrt {40 [m^2/s^2] (1-0,5 \cdot 0,57)} = 2,32 [m/s]$$
  5. Schiefe Ebene
    Abbildung 2: Für die zurückgelegte Strecke s auf der schiefen Ebene gilt $s = h / \sin(\alpha)$.

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Das rechtwinkelige Dreieck

  1. Wenn man drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen miteinander verbindet, dann erhält man ein Dreieck. Das Dreieck ist die einfachste geometrische Struktur, die eine zweidimensionale Ebene definiert. Wir haben gesehen, dass die grafische Addition von Vektoren ebenfalls Dreiecke produziert.
  2. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks auf einer flachen Ebene beträgt 180°. Wenn die Ebene gekrümmt ist, dann kann auch die Summe der Winkel eines Dreiecks mehr oder weniger als 180° betragen. Um herauszufinden, ob das Universum flach oder gekrümmt ist, müssen wir also die Innenwinkel eines großen Dreiecks (z. B. zwischen den Galaxien) messen.
  3. Ein Winkel von 90° wird ein rechter Winkel genannt. Ein Dreieck, das einen rechten Winkel besitzt, bezeichnet man als ein rechtwinkeliges Dreieck. In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, die längste Seite. Sie wird Hypotenuse genannt. Es ist die Seite c in der Abbildung 1a.
    Winkeln im Dreieck
    Abbildung 1: a: Seiten und Winkel in einem rechtwinkeligen Dreieck
    b: Seiten und Winkel in einem nicht rechtwinkeligen Dreieck
  4. Betrachten wir einen nicht rechten Winkel in einem Rechtwinkeligen Dreieck: Die Seite, die dem Winkel gegenüber liegt, wird Gegenkathete genannt. Die Seite, die an dem betrachteten Winkel liegt wird Ankathete genannt.
  5. Der Grieche Pythagoras hat schon vor ca. 2500 Jahren herausgefunden, dass die Summe der Quadraten der kürzeren Seiten in einem rechtwinkeligen Dreieck gleich dem Quadrat der Hypotenuse in diesem Dreieck ist. $$\boxed{a^2+b^2=c^2} \enspace \text{Satz vom Pythagoras}$$
  6. In einem rechtwinkeligen Dreieck sind einige Verhältnisse besonders relevant z. B. Gegenkathete eines Winkels dividiert durch die Hypotenuse. Diese Verhältnisse benennen wir, damit wir genau wissen von welchem Verhältnis wir sprechen $$\text{Der Sinus eines Winkels} =\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} $$ $$\text{Der Kosinus eines Winkels} =\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$$ Für den Winkel $\alpha$ können wir schreiben $$ sin(\alpha) =\frac a c $$ $$ cos(\alpha) =\frac b c $$ Für den Winkel $\beta$ können wir schreiben $$ sin(\beta) =\frac b c $$ $$ cos(\beta) =\frac a c $$ Für den Winkel $\gamma$ können wir schreiben $$ sin(\gamma) =\frac c c = 1 $$ $$ cos(\gamma) =\frac ? c = 0 $$
  7. Aus diesen einfachen Definitionen können wir folgendes herleiten: $$\boxed{sin(\alpha)^2 + cos(\alpha)^2 = 1}$$ $$\boxed{sin(0) = cos (90) = 0}$$ $$\boxed{sin(90) = cos(0) = 1}$$
  8. In einem beliebigen Dreieck gilt der sogenannte Kosinussatz $$\boxed{a^2 = c^2 +b^2 – 2bc \cdot cos (\alpha)}$$ $$\boxed{b^2 = a^2 +c^2 – 2ac \cdot cos (\beta)}$$ $$\boxed{c^2 = a^2 +b^2 – 2ab \cdot cos (\gamma)}$$
  9. Wir definieren zusätzliche den Tangens (tan) und den Kotangens (cotan) eines Winkels, in dem wir den Sinus durch den Kosinus dividieren und erhalten: $$\boxed{tan(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac {1}{cotan(\alpha)}}$$ $$\boxed{cotan(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = \frac {1}{tan(\alpha)}}$$ Im rechtwinkeligen Dreieck gilt also $$tan (\alpha) = \frac {a/c}{b/c} = \frac a b $$ $$cotan (\alpha) = \frac {b/c}{a/c} = \frac b a$$
  10. Für zwei beliebige Winkel $\alpha$ und $\beta$ gilt: $$sin(\alpha+\beta) = sin(\alpha)cos(\beta) +cos(\alpha)sin(\beta)$$ $$cos(\alpha+\beta) = cos(\alpha)cos(\beta) – sin(\alpha)sin(\beta)$$

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