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Vektorielle Betrachtung von Arbeit, Energie und Impuls

Vektorielle Betrachtung von Impuls

  1. Viele physikalische Größen sind Vektoren. Ein Vektor ist eine Größe, die eine Richtung und eine Länge hat (wie ein Pfeil mit einer Richtung und einer Länge).
  2. In Kapitel 2 haben wir gelernt, dass Kräfte Vektoren sind, da diese sowohl einen Betrag (Länge) als auch eine Richtung vorweisen.
  3. Nun betrachten wir den Impuls $$p= F \cdot t$$Die Kraft $F$ ist ein Vektor, d. h. $$\vec{F} = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix}$$Die Zeit t hingegen ist eine Zahl (Mathematiker bezeichnen Zahlen als skalare Größen)
    Wir bilden den Impuls, indem wir die Koordinaten des Kraftvektors mit der Zeit t multiplizieren, d.h. $$\vec{p} = \begin{pmatrix} F_x \cdot t \\ F_y \cdot t \\ F_z \cdot t \end{pmatrix}$$Wie man leicht erkennen kann, ist auch der Impuls ein Vektor!
  4. Wenn eine vektorielle Größe mit einer Zahl multipliziert wird, dann erhalten wir wieder einen Vektor!

Vektorielle Betrachtung von Arbeit

    Skalarprodukt
    Abbildung 1: Zwei Beispiele bei denen die wirkende Kraft F (blau) und die Bewegung s (grün) nicht gleichgerichtet sind.
    a) Ein Waggon auf Schienen wird mit Kraft F (blau) schräg zur Schienenrichtung gezogen. Die Bewegung erfolgt entlang der Schiene.
    b) Die Bewegung eines Objekts auf einer schiefen Ebene erfolgt in Richtung der Schräge s und nicht in Richtung der einwirkenden Gewichtskraft F (blau).
    In beiden Fällen muss die Kraft F in seine Bestandteile zerlegt werden, um die Kraft $F_{||}$ (rot) parallel zur Bewegungsrichtung zu bestimmen. Für die verrichtete Arbeit gilt in beiden Fällen $W = \vec F \cdot \vec s = F_{||} \cdot s$
  1. Wir haben gesehen, dass der Impuls eine vektorielle Größe ist, weil die Kraft ein Vektor ist.
  2. Die Arbeit hingegen ist eine skalare Größe d. h. eine Zahl und KEIN VEKTOR! Das Gleiche gilt auch für die Energie. Aber warum? Schließlich ist Arbeit $$W = F \cdot s$$ und F ist doch auch ein Vektor.
  3. Korrekt: F ist ein Vektor, aber s auch! Die Verschiebung s kann nach rechts, links, oben oder schräg erfolgen. Die Verschiebung s ist also ebenfalls ein Vektor, da sie eine Richtung besitzt.
  4. Wir haben es bei der Arbeit und der Energie also mit dem Produkt von zwei Vektoren zutun (s. Abbildung 1). Dafür haben wir in der letzten Lektion das Skalarprodukt kennen gelernt.
  5. Die Arbeit ist das Skalarprodukt der Kraft und der Strecke, d.h. $$W = \vec F \cdot \vec s$$Und wenn $\vec{F} = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix}$ und $\vec{s} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, dann gilt $$W = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = F_x \cdot x +F_y \cdot y + F_z \cdot z$$

Vektorielle Betrachtung von Leistung

  1. Analog zur Arbeit ist auch die Leistung eine skalare Größe d. h. eine Zahl und kein Vektor!
  2. Darauf kann man auf zwei Wege kommen:
    Weg 1: $P= \frac W t$ muss ein Skalar sein, da sowohl W als auch t skalare Größen sind.
    Weg 2: $P= \vec F \cdot \vec v$ ist das Skalarprodukt der Kraft- und Geschwindigkeitsvektors und daher eine skalare Größe (d.h. eine Zahl und kein Vektor).

Zur Lernkontrolle

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Wie multipliziert man Vektoren?

  1. In Kapitel 2 haben wir gelernt, dass viele physikalische Größen Vektoren sind. Ein Vektor ist eine Größe, die eine Richtung und eine Länge hat.
  2. Die Länge eines Vektors $\vec{v}$ wird auch als sein Betrag bezeichnet und mit $\lvert \vec{v} \rvert$ oder $\lVert \vec{v} \rVert$ dargestellt. Für den Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ ist der Betrag (die Länge) $\lvert \vec{v} \rvert = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
  3. Ein Vektor mit der Länge 1 wird als einen Einheitsvektor bezeichnet.
  4. Betrachten wir den Vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}$ und den Vektor $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}$. Wir multiplizieren diese Vektoren, indem wir die x-Koordinaten miteinander, die y-Koordinaten miteinander, die z-Koordinaten miteinander multiplizieren und anschließend die Summe bilden, d.h. alles aufaddieren. Mathematisch schreiben wir das so $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}$$ $$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z}$$ Dieses Produkt zweier Vektoren, das eine einzige Zahl liefert, bezeichnen wir als das Skalarprodukt.
  5. Ein Beispiel: Das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ beträgt $$\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 2 \cdot 5 -1 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) \\ &= 10 -3 -4 \\ &=3 \end{aligned} $$
  6. Es gibt eine zweite Möglichkeit das Skalarprodukt zu bilden.
    Betrachten wir zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ von denen wir die Länge (d. h. den Betrag) kennen. Diese Längen bezeichnen wir mit $\lvert \vec{a} \rvert$ und $\lvert \vec{b} \rvert$. Nun brauchen wir nur noch den Winkel zwischen diesen Vektoren. Diesen bezeichnen wir mit $\gamma$. Wenn wir die Länge zweier Vektoren und den Winkel, den sie einschließen kennen, können wir folgendermaßen ihr Skalarprodukt berechnen $$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \cdot \lvert \vec{b} \rvert \cdot \cos {\gamma} }$$ Diese Definition des Skalarprodukts ist viel wichtiger und hilfreicher!
  7. Ein Beispiel: Vektor $\vec{a}$ hat die Länge $\lvert \vec a \rvert = 5 $ und Vektor $\vec{b}$ die Länge $\lvert \vec b \rvert = 2 $. Der Winkel zwischen $\vec a$ und $\vec b$ beträgt $\gamma = 60 \degree$. Ihr Skalarprodukt lautet $$\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 5 \cdot 2 \cdot \cos {60 \degree} \\ &= 10 \cdot 0,5 \\ &= 5 \end{aligned}$$
  8. Eigenschaften und Anwendungen

    Skalarprodukt
    Abbildung 1a: Die orthogonale Projektion (senkrechter Lot) des Vektors a auf den Vektor b
    Abbildung 1b: Das Ablesen von Koordinaten eines Vektors ist durch Bildung
    von Skalarprodukt mit den Einheitsvektoren der Koordinatenachsen möglich.
  9. Betrachten wir das Skalarprodukt zweier Vektoren $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \cdot \lvert \vec{b} \rvert \cdot \cos {\gamma} $$ Wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen ist natürlich $\gamma = 90 \degree$. Streber der Nation wissen, dass $cos (90 \degree) = 0$.
    Das Skalarprodukt von zwei Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen ist Null, d. h. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

    Mathematiker verwenden anstatt „senkrecht“ das Wort „orthogonal“ und anstatt „Null“ das Wort „Verschwinden“. Versuchen wir es nochmal als Mathematiker:
    Das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren verschwindet! (Yeah!).
  10. Betrachten wir das Skalarprodukt zweier Vektoren $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \cdot \lvert \vec{b} \rvert \cdot \cos {\gamma} $$ Wenn die Vektoren parallel zu einander stehen ist natürlich $\gamma = 0 \degree$. Streber der Nation wissen, dass $cos (0 \degree) = 1$.
    Das Skalarprodukt von zwei parallelen Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Längen, d. h. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert \vec{a} \rvert \cdot \lvert \vec{b} \rvert $

    Ein besondere Fall ist, wenn wir einen Vektor mit sich selbst multiplizieren. Ein Vektor ist immer zu sich selbst parallel, d. h. $\vec{a} \cdot \vec{a} = (\lvert \vec{a} \rvert)^2$
  11. Und nun zur besten Eigenschaft des Skalarprodukts: „Die orthogonale Projektion“ (auf Deutsch: der senkrechte Lot)
    Betrachten wir die Abbildung 1a: Durch einen senkrechten Lot kann der Vektor $\vec a$ auf den Vektor $\vec b$ projiziert werden. Das Skalarprodukt $\vec a \cdot \vec b$ stellt dann die Projektionslänge von $\vec a$ auf $\vec b$ dar.
  12. Jedes Mal, wenn wir die Koordinaten eines Vektors ablesen, bilden wir senkrechte Lote zu den Koordinatenachsen. Mathematisch bilden wir also Skalarprodukte (Abbildung 1b).
  13. Das zweidimensionale Koordinatensystem, dass wir in der Schule verwenden, ist zwischen der x-Achse mit dem Vektor $\vec{e_x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und der y-Achse mit dem Vektor $\vec{e_y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ aufgespannt.
    Beispiel: Welche Koordinaten hat der Vektor $\vec a = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$?
    Natürlich 5 und -2. Aber wie kommen wir dazu?
    Indem wir Skalarprodukte bilden:
    x-Koordinate $$a_x= \vec a \cdot \vec {e_x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =5 +0 = 5$$ y-Koordinate $$a_x= \vec a \cdot \vec {e_y} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =0 -2 = -2$$ Hinweis für die Streber der Nation: Ein Koordinatensystem, welches zwischen den Vektoren $\vec{e_x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{e_y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ aufgespannt wird, bezeichnet man als ein Kartesisches Koordinatensystem.

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