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Verwendung der Energieerhaltung bei schiefen Ebenen mit Reibung

  1. In Kapitel 4 haben wir gelernt, warum in einem abgeschlossenen System, die Energie erhalten bleibt. In dieser Lektion werden wir die Energieerhaltung auf Aufgaben bezüglich der schiefen Ebene anwenden. Dabei werden wir die Gleitreibung berücksichtigen. Folgende Begriffe und Größen musst du kennen:
      Kinetische und potenzielle Energie (Kapitel 4)
      Schiefe Ebene (Kapitel 3) und
      trigonometrische Funktionen (Kapitel 3)
  2. Wir haben in Kapitel 3 die Gleitreibungskraft auf einer schiefen Ebene hergeleitet . Wenn ein Objekt auf einer schiefen Ebene ruht, d. h. sich nicht bewegt, dann verwenden wir die Normalkomponente ($F_N$) der Gewichtskraft zur Bestimmung der Größe Haftreibung. Die Richtung der Haftreibung ist antiparallel zur Parallelkomponente ($F_P$) der Gewichtskraft (s. Abbildung 1).
    Schiefe Ebene
    Abbildung 1: Die relevanten Kräfte auf einer schiefen Ebene. $F_g$ ist die Gewichtskraft des Objekts, $F_P$ ist die Komponente der Gewichtskraft, die parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene zeigt, $F_N$ ist die Normalkomponente der Gewichtskraft, die senkrecht zur Oberfläche der schiefen Eben zeigt. $F_P$ und $F_N$ hängen stark vom Winkel $\alpha$ ab.
  3. Welche Konsequenz hat die Reibung für die Energieerhaltung? Wir kennen ja alle den Begriff „Reibungsverlust“. Es besagt, dass die Energie aus dem System verloren geht. Dann kann aber das System nicht mehr als abgeschlossen betrachtet werden. Wenn wir aber die Menge an Energie, die durch Reibung verloren geht kennen, können wir wieder mit dem Energieerhaltungssatz rechnen. Dabei ziehen wir diese „Reibungsverluste“ einfach aus der Gesamtenergie ab. Folgendes Beispiel soll dies anschaulich darstellen.
  4. Beispiel: Rutschen auf einer schiefen Ebene mit Reibung
    Ein Objekt mit einer Masse von 100 [kg] rutscht auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel $\alpha = 30 \degree$) aus einer Höhe von $h=20 [m]$ hinunter. Mit welcher Geschwindigkeit $v$ kommt das Objekt unten an, wenn der Gleitreibungskoeffizient $\mu_G = 0,5$ beträgt?

    Gegeben und gesucht:
    Die Starthöhe $h=20[m]$, der Neigungswinkel der schiefen Ebene $\alpha = 30 \degree$, der Gleitreibungskoeffizient $\mu_G =0,5$ und die Masse des Objekts $m=100 [kg]$ sind angegeben. Gesucht ist die Aufprallgeschwindigkeit, d. h. die Geschwindigkeit unten am Fuß der schiefen Ebene ($h=0[m]$).

    Passende Formel:
    Oben ($h=20 [m]$) hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot}= mgh$.
    Unten ($h=0 [m]$) hat das Objekt nur die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$.
    Entlang der zurückgelegte Strecke $s$ verliert das Objekt durch die Gleitreibung die Reibungsenergie $E_R= F_R \cdot s$. Anwendung der Herleitung der Gleitreibungskraft in Kapitel 3 liefert $E_R = \mu_G \cdot mg \cos (\alpha) \cdot s $
    Abbildung 2 zeigt, dass für die zurückgelegte Strecke $s$ auf der schiefen Ebene gilt: $s = h / \sin(\alpha)$. Einsetzen liefert $$\begin{aligned} E_R &= F_R \cdot s \\ &= \mu_G \cdot mg \cos (\alpha) \frac {h}{\sin(\alpha)} \end{aligned}$$ Aus Kapitel 2 wissen wir, dass $\frac {\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cot (\alpha)$. Somit gilt $$E_R= \mu_G \cdot mg \cot (\alpha) \cdot h$$ Die Energieerhaltung besagt nun $E_{pot} – E_R = E_{kin}$, d. h. $$mgh – \mu_G \cdot mg \cot (\alpha) \cdot h= \frac 12 m v^2$$ Die Masse kann gekürzt werden, d.h. $$gh – \mu_G \cdot g \cot (\alpha) \cdot h= \frac 12 v^2$$ Auflösen nach v liefert $$v=\sqrt {2hg- 2 \mu_G \cdot g \cot (\alpha) \cdot h}$$ $$v=\sqrt {2hg (1- \mu_G \cdot \cot (\alpha))}$$ Beachte, dass in dieser Gleichung weder die Masse $m$ noch der Neigungswinkel $\alpha$ vorkommt. Diese Angaben benötigen wir nicht.

    Berechnung:
    Einsetzen der Werte liefert $$v = \sqrt {40 [m^2/s^2] (1-0,5 \cdot 0,57)} = 2,32 [m/s]$$
  5. Schiefe Ebene
    Abbildung 2: Für die zurückgelegte Strecke s auf der schiefen Ebene gilt $s = h / \sin(\alpha)$.

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Verwendung der Energieerhaltung bei schiefen Ebenen ohne Reibung

  1. In Kapitel 4 haben wir gelernt, warum in einem abgeschlossenen System, die Energie erhalten bleibt. In dieser Lektion werden wir die Energieerhaltung auf Aufgaben bezüglich der schiefen Ebene anwenden. Dabei werden wir die Reibungseffekte vernachlässigen. Folgende Begriffe und Größen musst du kennen:
      Kinetische und potenzielle Energie (Kapitel 4)
      Schiefe Ebene (Kapitel 3)
  2. Beispiel 1: Aufprallgeschwindigkeit beim Rutschen auf einer schiefen Ebene ohne Reibung
    Ein Objekt mit einer Masse von 100 [kg] rutscht auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel $\alpha = 30 \degree$) aus einer Höhe von $h=20 [m]$ hinunter. Mit welcher Geschwindigkeit $v$ kommt das Objekt unten an?

    Gegeben und gesucht:
    Die Starthöhe $h=20[m]$, der Neigungswinkel der schiefen Ebene $\alpha = 30 \degree$ und die Masse des Objekts $m=100 [kg]$ sind angegeben. Gesucht ist die Aufprallgeschwindigkeit, d. h. die Geschwindigkeit unten am Fuß der schiefen Ebene ($h=0[m]$).

    Passende Formel:
    Oben hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot}= mgh$
    Unten hat das Objekt nur die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$
    Die Energieerhaltung besagt, dass $E_{pot} = E_{kin}$. An dieser Stelle sind wir mit Physik fertig. Was jetzt folgt ist nur Mathematik und hat nichts mit Physik zu tun!
    Einsetzen der jeweiligen Formeln liefert $$mgh = \frac 12 m v^2$$ Gesucht ist ja die Geschwindigkeit $v$. Umformung der Gleichung nach $v$ liefert $$v=\sqrt {2gh}$$ Beachte, dass in dieser Gleichung weder die Masse $m$ noch der Neigungswinkel $\alpha$ vorkommt. Diese Angaben benötigen wir nicht.

    Berechnung:
    Einsetzen liefert $$\begin{aligned} v&= \sqrt {2gh} \\ &= \sqrt {2 \cdot 10 [m/s^2] \cdot 20 [m]} \\ &= \sqrt{400 [m^2/s^2]} \\ &= 20 [m/s] \end{aligned}$$
  3. An diesem Beispiel sieht man wieder, wie die Energieerhaltung die Berechnung vereinfacht. Obwohl es sich bei der Aufgabenstellung um eine schiefe Ebene handelt, benötigen wir keinerlei die trigonometrischen Funktionen.
  4. Nun schauen wir uns die Geschwindigkeit des Balls während des Falls an. Während des Falls wird die potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, d. h. der Ball hat sowohl potenzielle als auch kinetische Energie.
  5. Beispiel 2: Geschwindigkeit während des Rutschens auf einer schiefen Ebene ohne Reibung
    Ein Objekt mit einer Masse von 100 [kg] rutscht auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel $\alpha = 30 \degree$) aus einer Höhe von $h=20 [m]$ hinunter. Welche Geschwindigkeit hat er, wenn er sich $5 [m]$ über dem Boden befindet?

    Gegeben und gesucht:
    Die Starthöhe $h=20[m]$, der Neigungswinkel der schiefen Ebene $\alpha = 30 \degree$ und die Masse des Objekts $m=100 [kg]$ sind angegeben. Gesucht ist seine Geschwindigkeit in einer Höhe von $h_1=5[m]$.

    Passende Formel:
    Oben hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot0}= mgh_0$
    Unterwegs, d. h. bei der Höhe $h_1$ hat das Objekt sowohl die potenzielle Energie $E_{pot1}= mgh_1$ als auch die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$
    Die Energieerhaltung besagt, dass die Gesamtenergie zu jeder Zeit konstant bleibt, d.h. $E_{pot0} = E_{pot1}+E_{kin}$. An dieser Stelle sind wir mit Physik fertig. Was jetzt folgt ist nur Mathematik und hat nichts mit Physik zu tun!
    Einsetzen der jeweiligen Formeln liefert $$mgh_0 = mgh_1 + \frac 12 m v^2$$ Gesucht ist ja die Geschwindigkeit $v$. Nun formen wir die Gleichung nach $v$ um $$\begin{aligned} mgh_0 &= mgh_1 + \frac 12 m v^2 \\ gh_0 &= gh_1 + \frac 12 v^2 \\ \frac 12 v^2 &= gh_0 – gh_1 \\ v^2 &=2g(h_0 – h_1) \\ v &= \sqrt{2g(h_0 – h_1)} \end{aligned}$$ Beachte, dass in dieser Gleichung weder die Masse $m$ noch der Neigungswinkel $\alpha$ vorkommt. Diese Angaben benötigen wir nicht.
    Wenn du eine gute Note haben möchtest, solltest du in der Lage sein die obige Gleichung ohne Fehler umzuformen. Mein Vorschlag: üben, üben, üben.

    Berechnung:
    Einsetzen liefert $$\begin{aligned} v &= \sqrt{2g(h_0 – h_1)} \\ &= \sqrt {2 \cdot 10 [m/s^2] \cdot (20 [m] -5 [m])} \\ &= \sqrt{300 [m^2/s^2]} \\ &= 17,3 [m/s] \end{aligned}$$

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Die Energieerhaltung

  1. Ein System, dem weder Energie hinzugefügt noch Energie entnommen werden kann, bezeichnen wir als ein abgeschlossenes System.
  2. Die Energieerhaltung besagt nun, dass die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems stets gleich bleibt. Das ist nicht selbstverständlich, denn die Energie könnte ja auch theoretisch vernichtet werden oder aus dem Nichts entstehen! So ist es aber nicht.
  3. Obwohl die Energie in verschiedene Formen (z. B. kinetisch, potenziell, chemisch, elektrisch und etc.) umgewandelt werden kann, bleibt die Gesamtmenge der Energie in einem abgeschlossenen System gleich. Energie kann NICHT Produziert bzw. Vernichtet werden. Sie wird lediglich von einer Form in eine andere Form umgewandelt!
  4. Bei der Energieerhaltung reden wir immer von der Gesamtenergie eines Systems. Was ist die Gesamtenergie eines Systems?
    Die Gesamtenergie eines Systems ist die Summe der potenziellen und kinetischen Energien der Systembestandteile.
    Beispiel: die Gesamtenergie eines Systems bestehend aus einem einzigen Pendel ist gleich der Summe der potenziellen und der kinetischen Energie des Pendelkörpers.
    Die Gesamtenergie eines Systems bestehend aus 10 Pendeln ist die Summe der potenziellen und kinetischen Energien aller 10 Pendeln im System.
  5. Bei der Energieerhaltung reden wir immer von einem abgeschlossenen System. Was ist ein abgeschlossenes System?
    Nun es ist tatsächlich sehr schwer ein abgeschlossenes System zu finden, denn Reibung z. B. führt dazu, dass alle kleine Systeme nicht mehr abgeschlossen sind, denn die Wärme, die durch Reibung entsteht, wird an die Umgebung abgegeben.
    Ist ein Pendel ein abgeschlossenes System? Streng genommen nicht, da durch Interaktion mit der Umgebungsluft, Reibung entsteht.
    Ist ein Pendel im Vakuum ein abgeschlossenes System? Fast, aber am Aufhängepunkt verliert das System durch Reibung immer noch Energie an die Umgebung (wenn auch minimal).
    Ist die Erde ein abgeschlossenes System? Definitiv nicht, denn die Erde verliert ständig Wärme ans Weltall und bekommt wiederum kontinuierlich Wärme von der Sonne.
    Ist das gesamte Universum ein abgeschlossenes System? Wenn du die Antwort auf diese Frage herausfindest, ist dir ein Nobelpreis definitiv sicher! Vergiss dann nicht diese App zu nennen :D.
  6. Die Energieerhaltung ist ein Segen für uns Physiker, denn sie ermöglicht uns viele komplizierte Fragestellungen auf sehr simple Art und Weise zu lösen. Hierzu folgt ein Beispiel.
  7. Schiefe Ebene
    Abbildung 1: Ein Objekt rutscht aufgrund seiner Gewichtskraft F (blau) eine schiefen Ebene hinunter.
    Ein Beispiel:
    Ein Objekt (s. Abbildung 1) mit einer Masse von 100 [kg] rutscht auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel $\alpha = 30 \degree$) aus einer Höhe von $h=2 [m]$ hinunter. Mit welcher Geschwindigkeit $v$ kommt das Objekt unten an?

    Lösung 1: Bisher haben wir solche Aufgaben folgenderweise gelöst
    Gesucht ist die Geschwindigkeit $v$. Es gilt $v = at$. Wir brauchen also a und t.
    Es gilt: $F = ma$, d. h. $a = \frac F m$. Vorsicht: Hier ist mit F die Parallelkomponente der Kraft, d. h. $F_{||}$ gemeint, da diese für die Bewegung verantwortlich ist. Diese Kraftkomponente ist in Abbildung 1 rot markiert. Einsetzen ergibt $$v = \frac {F_{||}} m t$$
    Nun benötigen wir die Rutschdauer t. Es gilt $s= \frac 12 at^2$. Auflösen nach t liefert $$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$$Für die Beschleunigung a setzen wir wieder $a=\frac {F_{||}} m$ ein. Was ist die Wegstrecke s?
    Nun die Wegstrecke s ergibt sich aus dem Neigungswinkel (s. Kapitel 3). Es gilt $sin (\alpha) = \frac h s$, wobei h die Höhe der schiefen Ebene und s die Länge der schiefen Ebene darstellt. Es gilt also $$s = \frac {h}{sin (\alpha)} $$ Einsetzen in t liefert für die Zeit $$t = \sqrt{\frac{2 \frac {h}{sin (\alpha)}}{\frac {F_{||}} m}}$$ Das Einzige was uns noch fehlt ist $F_{||}$. Wieder verwenden wir den Sinus. Es gilt $$sin (\alpha) = \frac {F_{||}} F $$ Also $$F_{||} = F \cdot sin (\alpha) $$ Mit der Gewichtskraft $F = m g$ erhalten wir $$F_{||} = mg \cdot sin (\alpha)$$ Nun setzen wir $F_{||}$ in t und v ein und erhalten $$v = \frac {mg \cdot sin (\alpha) } m \sqrt{\frac{2 \frac {h}{sin (\alpha)}}{\frac {mg \cdot sin (\alpha)} m}}$$ Wir können viel kürzen und erhalten letztendlich $$v=\sqrt {2hg}$$ Einsetzen der zahlen liefert $$v = \sqrt {40 [m^2/s^2]} = 6,32 [m/s]$$ Endlich geschafft!!!

    Lösung 2: Anwendung der Energieerhaltung
    Oben hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot}= mgh$
    Unten hat das Objekt nur die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$
    Energieerhaltung besagt $E_{pot}=E_{kin}$, d. h. $$mgh = \frac 12 m v^2$$ Auflösen nach v liefert $$v=\sqrt {2hg}$$ Für diese Formel haben wir bei der 1. Lösung eine Ewigkeit benötigt!!! Einsetzen der Werte liefert $$v = \sqrt {40 [m^2/s^2]} = 6,32 [m/s]$$ Fertig!!!
    Habe ich erwähnt, dass die Energieerhaltung für uns Physiker ein Segen ist, denn sie ermöglicht uns viele komplizierte Fragestellungen auf sehr simple Art und Weise zu lösen?
  8. Warum gibt es aber überhaupt die Energieerhaltung? Die Energieerhaltung ist eine Folge der Zeitinvarianz der Naturgesetze. Was heißt das?
    Die physikalische Gesetze gelten unabhängig davon, ob die Zeit vorwärts, rückwärts, schneller oder langsamer, in unserer Galaxie oder wo anders im Universum läuft. Deshalb ist auch die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System stets konstant, weil durch diese Zeitinvarianz keine Energie produziert, oder vernichtet werden kann.
    Die physikalischen Gesetze sind auch in allen Raumrichtungen gleich, d.h. es gibt auch eine Rauminvarianz der Physik. Und dies mein junger Paderwan führt uns zur Impulserhaltung.
    Es ist eben alles nur Raum und Zeit!

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Was ist potenzielle Energie?

  1. Wenn eine Kraft F ein Objekt um die Strecke s verschiebt, dann wird die Arbeit $W=F \cdot s$ verrichtet.
  2. Wenn die Kraft F mit dem Verschieben fertig ist und nicht mehr auf das Objekt wirkt, ist die verrichtete Arbeit in Form von Energie E im Objekt gespeichert.
  3. Wenn die o. g. physikalische Arbeit in einem Raum statt findet, in dem keine andere Kräfte wirken, dann bewegt sich das Objekt, nach dem die treibende Kraft F entfernt wurde weiter (1. Newtonsche Gesetz). Die gespeicherte Arbeit liegt als Bewegungsenergie oder kinetische Energie $E_{kin}= \frac 1 2 m v^2$ vor.
  4. Sehr häufig finden physikalische Phänomene und Bewegungen in einem Kraftfeld statt. Zum Beispiel alles was sich auf der Erdoberfläche abspielt, unterliegt der Gewichtskraft $F= mg$. Dies gilt auf der Oberfläche von allen Planeten. Auch gibt es weitere Kräfte, wie z. B. die elektrische, die magnetische und die Federkraft. Was passiert mit der Arbeit, die in diesen Kraftfeldern stattfindet?
  5. Stellen wir uns einen Betonblock vor. Ein Kran hebt nun den Betonblock 5 [m] hoch. Dafür benötigt er die Kraft 1000 [N]. Somit verrichtet der Kran die Arbeit $W= 1000 [N] \cdot 5[m] = 5000 [J]$. Diese Arbeit ist gegen der Gewichtskraft des Blocks $F_G$ verrichtet!
  6. Wenn der Betonblock oben auf 5 [m] angekommen ist, liegt die verrichtete Arbeit von 5000 [J] als gespeicherte Energie vor. Nach dem Heben, hängt der Betonblock am Kran und bewegt sich nicht. Die Energie, die im Betonblock gespeichert ist, hat das Potenzial etwas zu bewegen und wieder als Arbeit freigesetzt zu werden. Das passiert, wenn man den Block los lässt. Er fällt runter und kann z. B. Zerstörungsarbeit leisten. Deshalb wird diese Energie als potenzielle Energie bezeichnet.
  7. Wichtig, potenzielle Energie gibt es nur dann, wenn die Arbeit GEGEN eine äußere Kraft (z. B. Gewichtskraft) verrichtet wird. Wird ein Betonblock im All jenseits der Erdanziehung bewegt, wird er sich nach Ende der Krafteinwirkung für immer weiter Bewegen (1. Newtonsche Gesetz) und die verrichtete Arbeit liegt in Form von kinetischer Energie (Bewegungsenergie) vor.
  8. Bleiben wir bei der potenziellen Energie, also die Energie eines Objekts, wenn es in einem Kraftfeld (z. B. Erdanziehung) befindet. Wie große die Potenzielle Energie ist, hängt von der Kraft $F$ und von der Verschiebungsstrecke $\Delta s$ ab. Es gilt $$E_{pot} = F \cdot s$$
  9. In der Delta-Schreibweise (s. Kapitel 1) können wir schreiben $$\Delta E_{pot} = F \cdot \Delta s$$
  10. Auf der Erde werden alle Objekte mit der Gewichtskraft $F=mg$ zum Erdmittelpunkt hingezogen. Wenn also ein Objekt entgegen der Gewichtskraft um eine Höhe $h$ hochgehoben wird, wird in ihm die Energie $$E_{pot} = F \cdot s = m g \cdot h$$ bzw. $$\Delta E_{pot} = m g \cdot \Delta h$$ gespeichert.

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