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Die Impulserhaltung

  1. Ein System, welches keine äußeren Kräfte erfährt, bezeichnen wir als ein abgeschlossenes System.
  2. Wenn keine äußeren Kräfte auf das System wirken, gilt $F_{ges}=0$.
  3. Für den Impuls gilt $\Delta p = F \cdot \Delta t$. Umformung nach F ergibt $$ F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$
  4. In Kapitel 1 haben wir gelernt, dass wir $\Delta p = p_2-p_1$ und $\Delta t=t_2-t_1$ schreiben können. Einsetzen liefert $$F = \frac{p_2 – p_1}{t_2 – t_1}$$
  5. Wenn keine äußeren Kräfte auf das System wirken, gilt $F_{ges}=0$, d.h. $$\frac{p_2-p_1}{t_2-t_1} = 0$$Ein Bruch ist dann gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist, d.h. $p_2 – p_1=0$. Umformung zeigt $$p_2=p_1$$
  6. Bedeutung: In Kapitel 1 (Lektion: Was ist eine Funktion) haben wir gelernt, dass $p_2$ der Impuls zum Zeitpunkt $t_2$ und $p_1$ der Impuls zum Zeitpunkt $t_1$ darstellen. Mathematiker schreiben dies so $p_2 = p(t_2)$ und $p_1 = p(t_1)$
  7. Die Gleichung $p2=p1$ bedeutet, dass sich der Impuls eines abgeschlossenen Systems mit der Zeit nicht ändert, d.h. $$\boxed{p(t) = \text{konstant}}$$Dies wird als Impulserhaltung bezeichnet.
  8. Die Impulserhaltung gilt immer unabhängig von Energieerhaltung. Deshalb ist sie wichtiger und nützlicher als die Energieerhaltung.
  9. Beispiel für Impulserhaltung
    Ein Astronaut (Masse $m_A = 100 [kg]$ wirft im All einen Hammer (Masse $m_H= 1[kg]$) mit einer Geschwindigkeit von $v_H = 20 [\frac m s]$ von sich weg. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der Astronaut nach dem Wurf?

    Die Impulserhaltung sagt, dass der Gesamtimpuls eines Systems ohne Einwirken von äußeren Kräften stets gleich bleibt.

    Impuls vor dem Wurf:
    Da wir nicht wissen, wie sich der Astronaut mit seinem Hammer vor dem Wurf bewegt hat, wählen wir ein Bezugssystem (d.h. ein Koordinatensystem), das sich mit dem Astronauten mitbewegt. In diesem Bezugssystem, haben der Astronaut und sein Hammer die Geschwindigkeit Null ($v_A = 0$ und $v_H=0$). Für den Impuls gilt: $$p_{vorher} = m_A \cdot v_A + m_H \cdot v_H = 0$$ Nach dem Wurf bewegt sich der Hammer mit $v_H = 20 [\frac m s]$ vom Astronauten weg. Der Gesamtimpuls des Systems, darf sich aber gemäß Impulserhaltung nicht verändert haben, d.h. $$p_{nachher} = m_A \cdot v_A + m_H \cdot v_H = 0$$ Formen wir diese Gleichung nach $v_A$ um und erhalten: $$v_A = – \frac {m_H \cdot v_H}{m_A}$$ Einsetzen der Werte ergibt: $$\begin{aligned} v_A &= – \frac {1 [kg] \cdot 20 [\frac m s]}{100 [kg]} \\ &= 0.2 [\frac m s] \end{aligned}$$ Das negative Vorzeichen der Geschwindigkeit besagt, dass sich der Astronaut in entgegengesetzter Richtung zum Hammer bewegt.
  10. Die Impulserhaltung ist eine direkte Folge der Homogenität des Raumes. Dies bedeutet, dass die physikalischen Gesetze unabhängig davon gelten, ob wir uns von Rechts nach Links, von Vorne nach Hinten, oder von Oben nach Unten bewegen.
    Für Streber der Nation: Dies wird als Invarianz der Naturgesetze gegenüber Raumdimensionen bezeichnet.

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Was ist physikalische Arbeit?

  1. Äußere Einflüsse, die die Geschwindigkeit eines Körpers ändern können, werden als Kräfte bezeichnet. Die Betonung liegt hier auf können, denn wenn mehrere Kräfte auf ein Objekt wirken, kann es sein, dass keine Bewegung stattfindet (z. B. die Haftreibung, die die Bewegung verhindert).
  2. Es ist ein Unterschied, ob eine Kraft $F$ einen Körper um eine Strecke von $2 [m]$ oder $10 [m]$ verschiebt. Die gleiche Kraft kann den gleichen Körper um verschiedene Strecken verschieben. Wie können wir dies physikalisch von einander unterscheiden?
    Hier hilft uns der Begriff Arbeit.
  3. Wenn eine Kraft $F$ ein Objekt um die Strecke $s$ verschiebt, dann sagen wir: „die Kraft $F$ hat auf das Objekt die Arbeit $W$ verrichtet“. W steht für „Work“ (das englische Wort für Arbeit). Natürlich ist die verrichtete Arbeit mehr, je größer die wirkende Kraft ist oder je größer die Verschiebungsstrecke $s$ ist. Deshalb definieren wir die physikalische Arbeit $$\boxed{W=F \cdot s}$$
  4. Die Einheit der Arbeit lässt sich aus ihrer Definition ableiten $$W [J] = F [N] s [m] $$Die Einheit der Arbeit wird Joule genannt und es gilt $$1 [J] = 1 [N \cdot m] = 1 [\frac {kg m^2}{s^2}]$$
  5. In der Delta-Schreibweise (s. Kapitel 1) können wir schreiben $$\Delta W = F \cdot \Delta s$$
  6. Beispiel: Eine Kraft $F=50 [N]$ verschiebt ein Objekt um $s = 3 [m]$. Die verrichtete Arbeit beträgt $$\begin{aligned} W &= F \cdot s \\ &= 50 [N] \cdot 3[m] \\ &= 150 [J] \end{aligned}$$

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Newtonsche Gesetze der Dynamik

  1. Das Trägheitsgesetz (1. Gesetz): Ist die Summe aller Kräfte, die auf ein Objekt wirken gleich Null, dann verändert sich der Geschwindigkeitsvektor des Objekts nicht, d. h. $$\vec F_{Gesamt} = 0 \to \Delta {\vec v} = 0 \to\vec a = 0$$ Wenn sich die Geschwindigkeit nicht ändert, ist die Beschleunigung gleich Null.
  2. Das Aktionsprinzip (2. Gesetz): Wirkt eine Gesamtkraft auf ein Objekt, so führt dies zu einer Änderung des Geschwindigkeitsvektors und entsprechend zu einer Beschleunigung. Die Proportionalitätsfaktor dieser Beschleunigung wird die träge Masse genannt. $$\vec F_{Gesamt} = m \cdot \vec a$$
  3. Das Reaktionsprinzip (3. Gesetz): Übt ein Objekt A eine Kraft auf ein Objekt B aus, so übt Objekt B eine gleich große Kraft auf Objekt A aus, die die entgegengesetzte Richtung hat, d. h. $$\vec F_{AB} = – \vec F_{BA}$$
  4. Das Superpositionsprinzip (4. Gesetz): Kräfte sind Vektoren und ihre gemeinsamen Effekte können durch Vektoraddition bestimmt werden.
  5. Diese Gesetze hat Newton im Jahre 1687 in seinem Buch Principia formuliert. Sie bilden die Grundlage der klassischen Mechanik, die bis Einsteins Relativitätstheorie die geltende Physik darstellte.
  6. Die Menschheit existiert seit ca. 250000 Jahre auf der Erde und erst vor ca. 400 Jahren versteht er zum ersten Mal die Grundlagen der Bewegung. Bis zur nächsten Revolution in der Mechanik (Relativitätstheorie) dauert es allerdings weniger als 300 Jahren.

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