Viele physikalische Größen sind Vektoren. Ein Vektor ist eine Größe, die eine Richtung und eine Länge hat (wie ein Pfeil mit einer Richtung und einer Länge).
In Kapitel 2 haben wir gelernt, dass Kräfte Vektoren sind, da diese sowohl einen Betrag (Länge) als auch eine Richtung vorweisen.
Nun betrachten wir den Impuls $$p= F \cdot t$$Die Kraft $F$ ist ein Vektor, d. h. $$\vec{F} = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix}$$Die Zeit t hingegen ist eine Zahl (Mathematiker bezeichnen Zahlen als skalare Größen)
Wir bilden den Impuls, indem wir die Koordinaten des Kraftvektors mit der Zeit t multiplizieren, d.h. $$\vec{p} = \begin{pmatrix} F_x \cdot t \\ F_y \cdot t \\ F_z \cdot t \end{pmatrix}$$Wie man leicht erkennen kann, ist auch der Impuls ein Vektor!
Wenn eine vektorielle Größe mit einer Zahl multipliziert wird, dann erhalten wir wieder einen Vektor!
Vektorielle Betrachtung von Arbeit
Abbildung 1: Zwei Beispiele bei denen die wirkende Kraft F (blau) und die Bewegung s (grün) nicht gleichgerichtet sind. a) Ein Waggon auf Schienen wird mit Kraft F (blau) schräg zur Schienenrichtung gezogen. Die Bewegung erfolgt entlang der Schiene. b) Die Bewegung eines Objekts auf einer schiefen Ebene erfolgt in Richtung der Schräge s und nicht in Richtung der einwirkenden Gewichtskraft F (blau). In beiden Fällen muss die Kraft F in seine Bestandteile zerlegt werden, um die Kraft $F_{||}$ (rot) parallel zur Bewegungsrichtung zu bestimmen. Für die verrichtete Arbeit gilt in beiden Fällen $W = \vec F \cdot \vec s = F_{||} \cdot s$
Wir haben gesehen, dass der Impuls eine vektorielle Größe ist, weil die Kraft ein Vektor ist.
Die Arbeit hingegen ist eine skalare Größe d. h. eine Zahl und KEIN VEKTOR! Das Gleiche gilt auch für die Energie. Aber warum? Schließlich ist Arbeit $$W = F \cdot s$$ und F ist doch auch ein Vektor.
Korrekt: F ist ein Vektor, aber s auch! Die Verschiebung s kann nach rechts, links, oben oder schräg erfolgen. Die Verschiebung s ist also ebenfalls ein Vektor, da sie eine Richtung besitzt.
Wir haben es bei der Arbeit und der Energie also mit dem Produkt von zwei Vektoren zutun (s. Abbildung 1). Dafür haben wir in der letzten Lektion das Skalarprodukt kennen gelernt.
Die Arbeit ist das Skalarprodukt der Kraft und der Strecke, d.h. $$W = \vec F \cdot \vec s$$Und wenn $\vec{F} = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix}$ und $\vec{s} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, dann gilt $$W = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = F_x \cdot x +F_y \cdot y + F_z \cdot z$$
Vektorielle Betrachtung von Leistung
Analog zur Arbeit ist auch die Leistung eine skalare Größe d. h. eine Zahl und kein Vektor!
Darauf kann man auf zwei Wege kommen:
Weg 1: $P= \frac W t$ muss ein Skalar sein, da sowohl W als auch t skalare Größen sind.
Weg 2: $P= \vec F \cdot \vec v$ ist das Skalarprodukt der Kraft- und Geschwindigkeitsvektors und daher eine skalare Größe (d.h. eine Zahl und kein Vektor).
Im Kapitel 1 haben wir gelernt, dass Raum und Zeit zwei grundlegende Eigenschaften bzw. Dimensionen unseres Universums repräsentieren.
Wenn eine Kraft F ein Objekt um die Strecke s verschiebt, dann wird die Arbeit $W=F \cdot s$ verrichtet. Die Arbeit ist somit die Wirkung einer Kraft F im Raum (Strecke s).
Was ist mit der Wirkung einer Kraft in der Zeit? Wenn eine Kraft F ein Objekt für die Dauer t verschiebt, dann wird der Impuls p auf das Objekt übertragen. Für den Impuls können wir (wie für die Arbeit) schreiben $$p=F \cdot t$$ Als Streber der Nation wissen wir, dass $F=ma$ (2. Newtonsche Gesetz, siehe Kapitel 2) und $a= \frac v t$ (die Beschleunigung, siehe Kapitel 1). Einsetzen liefert für den Impuls $$\begin{aligned} p &= F \cdot t \\ &= m \cdot a \cdot t \\ &= m \cdot \frac v t \cdot t \\&= m \cdot v \end{aligned}$$
Nochmal zur Verdeutlichung: Wirkung einer Kraft im Raum $$Kraft \times Strecke = Arbeit (Energie)$$ Wirkung einer Kraft in der Zeit $$Kraft \times Zeit = Impuls$$
Wie immer in der Physik müssen wir die Frage nach den Einheiten klären, um zu wissen was wir überhaupt messen. Für den Impuls gilt $$ F [N] \cdot t [s] = p [N \cdot s] = p [kg \cdot \frac m s]$$ Der Impuls hat also die Einheit [Ns] (Newtonsekunde).
In der Delta-Schreibweise (s. Kapitel 1) können wir schreiben $$\Delta p = F \cdot \Delta t$$ bzw. $$\Delta p = m \cdot \Delta v$$
Ein System, dem weder Energie hinzugefügt noch Energie entnommen werden kann, bezeichnen wir als ein abgeschlossenes System.
Die Energieerhaltung besagt nun, dass die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems stets gleich bleibt. Das ist nicht selbstverständlich, denn die Energie könnte ja auch theoretisch vernichtet werden oder aus dem Nichts entstehen! So ist es aber nicht.
Obwohl die Energie in verschiedene Formen (z. B. kinetisch, potenziell, chemisch, elektrisch und etc.) umgewandelt werden kann, bleibt die Gesamtmenge der Energie in einem abgeschlossenen System gleich. Energie kann NICHT Produziert bzw. Vernichtet werden. Sie wird lediglich von einer Form in eine andere Form umgewandelt!
Bei der Energieerhaltung reden wir immer von der Gesamtenergie eines Systems. Was ist die Gesamtenergie eines Systems? Die Gesamtenergie eines Systems ist die Summe der potenziellen und kinetischen Energien der Systembestandteile. Beispiel: die Gesamtenergie eines Systems bestehend aus einem einzigen Pendel ist gleich der Summe der potenziellen und der kinetischen Energie des Pendelkörpers. Die Gesamtenergie eines Systems bestehend aus 10 Pendeln ist die Summe der potenziellen und kinetischen Energien aller 10 Pendeln im System.
Bei der Energieerhaltung reden wir immer von einem abgeschlossenen System. Was ist ein abgeschlossenes System? Nun es ist tatsächlich sehr schwer ein abgeschlossenes System zu finden, denn Reibung z. B. führt dazu, dass alle kleine Systeme nicht mehr abgeschlossen sind, denn die Wärme, die durch Reibung entsteht, wird an die Umgebung abgegeben. Ist ein Pendel ein abgeschlossenes System? Streng genommen nicht, da durch Interaktion mit der Umgebungsluft, Reibung entsteht. Ist ein Pendel im Vakuum ein abgeschlossenes System? Fast, aber am Aufhängepunkt verliert das System durch Reibung immer noch Energie an die Umgebung (wenn auch minimal). Ist die Erde ein abgeschlossenes System? Definitiv nicht, denn die Erde verliert ständig Wärme ans Weltall und bekommt wiederum kontinuierlich Wärme von der Sonne. Ist das gesamte Universum ein abgeschlossenes System? Wenn du die Antwort auf diese Frage herausfindest, ist dir ein Nobelpreis definitiv sicher! Vergiss dann nicht diese App zu nennen :D.
Die Energieerhaltung ist ein Segen für uns Physiker, denn sie ermöglicht uns viele komplizierte Fragestellungen auf sehr simple Art und Weise zu lösen. Hierzu folgt ein Beispiel.
Abbildung 1: Ein Objekt rutscht aufgrund seiner Gewichtskraft F (blau) eine schiefen Ebene hinunter.Ein Beispiel:
Ein Objekt (s. Abbildung 1) mit einer Masse von 100 [kg] rutscht auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel $\alpha = 30 \degree$) aus einer Höhe von $h=2 [m]$ hinunter. Mit welcher Geschwindigkeit $v$ kommt das Objekt unten an?
Lösung 1: Bisher haben wir solche Aufgaben folgenderweise gelöst
Gesucht ist die Geschwindigkeit $v$. Es gilt $v = at$. Wir brauchen also a und t.
Es gilt: $F = ma$, d. h. $a = \frac F m$. Vorsicht: Hier ist mit F die Parallelkomponente der Kraft, d. h. $F_{||}$ gemeint, da diese für die Bewegung verantwortlich ist. Diese Kraftkomponente ist in Abbildung 1 rot markiert. Einsetzen ergibt $$v = \frac {F_{||}} m t$$
Nun benötigen wir die Rutschdauer t. Es gilt $s= \frac 12 at^2$. Auflösen nach t liefert $$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$$Für die Beschleunigung a setzen wir wieder $a=\frac {F_{||}} m$ ein. Was ist die Wegstrecke s?
Nun die Wegstrecke s ergibt sich aus dem Neigungswinkel (s. Kapitel 3). Es gilt $sin (\alpha) = \frac h s$, wobei h die Höhe der schiefen Ebene und s die Länge der schiefen Ebene darstellt. Es gilt also $$s = \frac {h}{sin (\alpha)} $$
Einsetzen in t liefert für die Zeit $$t = \sqrt{\frac{2 \frac {h}{sin (\alpha)}}{\frac {F_{||}} m}}$$
Das Einzige was uns noch fehlt ist $F_{||}$. Wieder verwenden wir den Sinus. Es gilt $$sin (\alpha) = \frac {F_{||}} F $$
Also $$F_{||} = F \cdot sin (\alpha) $$ Mit der Gewichtskraft $F = m g$ erhalten wir $$F_{||} = mg \cdot sin (\alpha)$$
Nun setzen wir $F_{||}$ in t und v ein und erhalten $$v = \frac {mg \cdot sin (\alpha) } m \sqrt{\frac{2 \frac {h}{sin (\alpha)}}{\frac {mg \cdot sin (\alpha)} m}}$$
Wir können viel kürzen und erhalten letztendlich $$v=\sqrt {2hg}$$
Einsetzen der zahlen liefert $$v = \sqrt {40 [m^2/s^2]} = 6,32 [m/s]$$
Endlich geschafft!!!
Lösung 2: Anwendung der Energieerhaltung
Oben hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot}= mgh$
Unten hat das Objekt nur die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$
Energieerhaltung besagt $E_{pot}=E_{kin}$, d. h. $$mgh = \frac 12 m v^2$$ Auflösen nach v liefert $$v=\sqrt {2hg}$$ Für diese Formel haben wir bei der 1. Lösung eine Ewigkeit benötigt!!! Einsetzen der Werte liefert $$v = \sqrt {40 [m^2/s^2]} = 6,32 [m/s]$$ Fertig!!!
Habe ich erwähnt, dass die Energieerhaltung für uns Physiker ein Segen ist, denn sie ermöglicht uns viele komplizierte Fragestellungen auf sehr simple Art und Weise zu lösen?
Warum gibt es aber überhaupt die Energieerhaltung? Die Energieerhaltung ist eine Folge der Zeitinvarianz der Naturgesetze. Was heißt das? Die physikalische Gesetze gelten unabhängig davon, ob die Zeit vorwärts, rückwärts, schneller oder langsamer, in unserer Galaxie oder wo anders im Universum läuft. Deshalb ist auch die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System stets konstant, weil durch diese Zeitinvarianz keine Energie produziert, oder vernichtet werden kann. Die physikalischen Gesetze sind auch in allen Raumrichtungen gleich, d.h. es gibt auch eine Rauminvarianz der Physik. Und dies mein junger Paderwan führt uns zur Impulserhaltung. Es ist eben alles nur Raum und Zeit!
Wenn eine Kraft $F$ ein Objekt um die Strecke $s$ verschiebt, dann sagen wir: „die Kraft $F$ hat an dem Objekt die Arbeit $W$ verrichtet“. W steht für „Work“ (das englische Wort für Arbeit). Natürlich ist die verrichtete Arbeit mehr, je größer die wirkende Kraft ist oder je größer die Verschiebungsstrecke $s$ ist. Deshalb definieren wir die physikalische Arbeit $$\boxed{W=F \cdot s}$$
Stellen wir uns einen Betonblock vor. Ein Kran hebt nun den Betonblock 10 [m] hoch. Dafür benötigt er die Kraft 1000 [N]. Somit verrichtet der Kran die Arbeit $W= 1000 [N] \cdot 10[m] = 10000 [J]$.
Direkt unterhalb des hochgehobenen Betonblocks ist eine Stange senkrecht in die Erde eingeführt. Nun lässt der Kran den Betonblock von oben auf die Stange fallen. Der Block fällt auf die Stange hinunter und druckt diese in die Erde hinein. Da die Stange sich bewegt hat, wurde an sie eine Arbeit verrichtet. Wir stellen uns zwei Fragen:
Wer hat die Arbeit an die Stange verrichtet? Die Antwort ist natürlich der hochgehobene Block.
Auf dem Boden hätte der Block diese Fähigkeit die Stange in die Erde zu pressen nicht. Wie ist der Block zu dieser Fähigkeit gekommen? Die vom Kran an den Block während des Hochhebens verrichtete Arbeit muss irgendwie im block gespeichert worden sein. Beim Fall hat sich diese gespeicherte Arbeit wieder freigesetzt und konnte so die Stange in die Erde drucken, d. h. die freigewordene Arbeit konnte wieder auf ein anderes Objekt (hier die Stange) übertragen werden.
Die Arbeit kann also gespeichert und wieder freigesetzt werden. In der Physik wird die gespeicherte Arbeit als Energie bezeichnet. Energie und Arbeit sind verschiedene Formen der selben Größe. Wenn ein Objekt durch eine Kraft verschoben wird, dann sprechen wir von der Arbeit, die an das Objekt verrichtet wird. Nachdem das Verschieben vorbei ist, geht die Arbeit nicht verloren. Die verrichtete Arbeit ist jetzt im Objekt gespeichert. In diesem Fall sprechen wir dann von der gespeicherten Energie.
Die Energie wird i. d. R. $E$ (für Energie) bezeichnet. Da Energie die gespeicherte Arbeit ist, gilt: $$E = W = F \cdot s$$Die Energie hat genau wie die Arbeit die Einheit Joule $[J]$.
Die Energie ist eine fundamentale Größe unseres Universums. Sie kann in verschiedene Formen umgewandelt werden.
Äußere Einflüsse, die die Geschwindigkeit eines Körpers ändern können, werden als Kräfte bezeichnet. Die Betonung liegt hier auf können, denn wenn mehrere Kräfte auf ein Objekt wirken, kann es sein, dass keine Bewegung stattfindet (z. B. die Haftreibung, die die Bewegung verhindert).
Es ist ein Unterschied, ob eine Kraft $F$ einen Körper um eine Strecke von $2 [m]$ oder $10 [m]$ verschiebt. Die gleiche Kraft kann den gleichen Körper um verschiedene Strecken verschieben. Wie können wir dies physikalisch von einander unterscheiden? Hier hilft uns der Begriff Arbeit.
Wenn eine Kraft $F$ ein Objekt um die Strecke $s$ verschiebt, dann sagen wir: „die Kraft $F$ hat auf das Objekt die Arbeit $W$ verrichtet“. W steht für „Work“ (das englische Wort für Arbeit). Natürlich ist die verrichtete Arbeit mehr, je größer die wirkende Kraft ist oder je größer die Verschiebungsstrecke $s$ ist. Deshalb definieren wir die physikalische Arbeit $$\boxed{W=F \cdot s}$$
Die Einheit der Arbeit lässt sich aus ihrer Definition ableiten $$W [J] = F [N] s [m] $$Die Einheit der Arbeit wird Joule genannt und es gilt $$1 [J] = 1 [N \cdot m] = 1 [\frac {kg m^2}{s^2}]$$
In der Delta-Schreibweise (s. Kapitel 1) können wir schreiben $$\Delta W = F \cdot \Delta s$$
Beispiel: Eine Kraft $F=50 [N]$ verschiebt ein Objekt um $s = 3 [m]$. Die verrichtete Arbeit beträgt $$\begin{aligned} W &= F \cdot s \\ &= 50 [N] \cdot 3[m] \\ &= 150 [J] \end{aligned}$$
Ohne äußere Einflüsse ändert sich die Geschwindigkeit eines Objekts bzw. sein Geschwindigkeitsvektor nicht! (Warum sollte er auch?) Diese Eigenschaft wird als Trägheit bezeichnet.
Einflüsse, die dazu führen könnten die Geschwindigkeit eines Objekts zu ändern bezeichnen wir als Kräfte. Eine Kraft ist die Fähigkeit die Geschwindigkeit eines Objekts zu ändern, d. h. es zu beschleunigen.
Kräfte sind Vektoren, d. h. sie haben einen Betrag und eine Richtung.
Isaac Newton hat vier Gesetze aufgestellt, die Kräfte mit Bewegung verbinden.
Das Trägheitsgesetz (1. Gesetz): Ist die Summe aller Kräfte, die auf ein Objekt wirken gleich Null, dann verändert sich der Geschwindigkeitsvektor des Objekts nicht, d. h. die Beschleunigung ist gleich Null.
Das Aktionsprinzip (2. Gesetz): Wirkt eine Gesamtkraft auf ein Objekt, so führt dies zu einer Änderung des Geschwindigkeitsvektors und entsprechend zu einer Beschleunigung. Die Proportionalitätsfaktor dieser Beschleunigung wird die träge Masse genannt. $$\boxed{\vec F_{Gesamt} = m \cdot \vec a}$$
Das Reaktionsprinzip (3. Gesetz): Übt ein Objekt A eine Kraft auf ein Objekt B aus, so übt Objekt B eine gleich große Kraft auf Objekt A aus, die die entgegengesetzte Richtung hat, d. h. $$\vec F_{AB} = – \vec F_{BA}$$
Das Superpositionsprinzip (4. Gesetz): Kräfte sind Vektoren und ihre gemeinsamen Effekte (d. h. ihre Überlagerung) können durch Vektoraddition bestimmt werden.
Betrachten wir die Bewegung eines Objekts, die durch seine Geschwindigkeit $\vec v$ gegeben ist. Eine Beschleunigung ist eine Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit.
Da die Geschwindigkeit ein Vektor ist, ist auch eine Änderung der Bewegungsrichtung, d. h. Geschwindigkeitsrichtung eine Beschleunigung.
Ohne äußere Einflüsse ändert sich die Geschwindigkeit eines Objekts bzw. sein Geschwindigkeitsvektor nicht! (Warum sollte er auch?) Diese Eigenschaft wird als Trägheit bezeichnet.
Einflüsse, die dazu führen könnten die Geschwindigkeit eines Objekts zu ändern bezeichnen wir als Kräfte. Eine Kraft ist die Fähigkeit die Geschwindigkeit eines Objekts zu ändern.
Wenn sich die Geschwindigkeit eines Objekts ändert, dann erfährt das Objekt eine Beschleunigung. Eine Kraft ist also die Fähigkeit ein Objekt zu beschleunigen. (Betrachte, dass auch Bremsvorgänge und Änderung der Bewegungsrichtung als Beschleunigung gelten).
Experimente zeigen, dass je großer die Kraft F, desto großer ist die Beschleunigung a des Objekts. Dieses Verhalten wird als eine Proportionalität bezeichnet und geschrieben als $$F \sim a$$
Betrachten wir nun ein Objekt, das durch eine Kraft F die Beschleunigung a erfährt. Experimente zeigen, dass wenn man die Kraft F durch die erzeugte Beschleunigung a teilt (d. h. $\frac F a$), das Ergebnis für ein Objekt immer die gleiche Zahl ist. Diese Zahl bezeichnen wir als die träge Masse m des Objekts. Es gilt also $$\frac F a = m$$
Die (träge) Masse m hat die Einheit Kilogramm [kg]. Hinweis: Diese träge Masse hat theoretisch nichts mit der Gewichtskraft und Gravitation zu tun, dennoch ist sie gleich der schweren Masse. Dies wird das Äquivalenzprinzip genannt. Deshalb kann auch die Schwerkraft z. B. in Flugsimulator-Kabinen durch Beschleunigung simuliert werden.
Jetzt können wir für die Kraft schreiben $$F = m \cdot a$$ Da die Beschleunigung ein Vektor ist, muss auch F ein Vektor sein, d. h. $$\boxed{\vec F = m \cdot \vec a = m \cdot \frac {\vec {\Delta v}}{\Delta t}}$$
Die Einheit der Kraft lässt sich aus der Formel herleiten $$F = m [kg] \cdot a [m/s^2] = F [\frac{kg \cdot m}{s^2}] $$ Die Einheit $[\frac{kg \cdot m}{s^2}]$ ist sehr lang und spärlich, weshalb wir ihr zu Ehren ihres Entdeckers Sir Isaac Newton den Namen Newton geben, d. h. $$ 1 [N] = 1 [\frac{kg \cdot m}{s^2}]$$
Der Teilbereich der Physik, der sich mit Wirkung von Kräften beschäftigt, wird als Dynamik bezeichnet. Dynamik und Kinematik (s. Kapitel 1) werden zusammen als Mechanik bezeichnet.
