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Verwendung der Energieerhaltung bei schiefen Ebenen mit Reibung

  1. In Kapitel 4 haben wir gelernt, warum in einem abgeschlossenen System, die Energie erhalten bleibt. In dieser Lektion werden wir die Energieerhaltung auf Aufgaben bezüglich der schiefen Ebene anwenden. Dabei werden wir die Gleitreibung berücksichtigen. Folgende Begriffe und Größen musst du kennen:
      Kinetische und potenzielle Energie (Kapitel 4)
      Schiefe Ebene (Kapitel 3) und
      trigonometrische Funktionen (Kapitel 3)
  2. Wir haben in Kapitel 3 die Gleitreibungskraft auf einer schiefen Ebene hergeleitet . Wenn ein Objekt auf einer schiefen Ebene ruht, d. h. sich nicht bewegt, dann verwenden wir die Normalkomponente ($F_N$) der Gewichtskraft zur Bestimmung der Größe Haftreibung. Die Richtung der Haftreibung ist antiparallel zur Parallelkomponente ($F_P$) der Gewichtskraft (s. Abbildung 1).
    Schiefe Ebene
    Abbildung 1: Die relevanten Kräfte auf einer schiefen Ebene. $F_g$ ist die Gewichtskraft des Objekts, $F_P$ ist die Komponente der Gewichtskraft, die parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene zeigt, $F_N$ ist die Normalkomponente der Gewichtskraft, die senkrecht zur Oberfläche der schiefen Eben zeigt. $F_P$ und $F_N$ hängen stark vom Winkel $\alpha$ ab.
  3. Welche Konsequenz hat die Reibung für die Energieerhaltung? Wir kennen ja alle den Begriff „Reibungsverlust“. Es besagt, dass die Energie aus dem System verloren geht. Dann kann aber das System nicht mehr als abgeschlossen betrachtet werden. Wenn wir aber die Menge an Energie, die durch Reibung verloren geht kennen, können wir wieder mit dem Energieerhaltungssatz rechnen. Dabei ziehen wir diese „Reibungsverluste“ einfach aus der Gesamtenergie ab. Folgendes Beispiel soll dies anschaulich darstellen.
  4. Beispiel: Rutschen auf einer schiefen Ebene mit Reibung
    Ein Objekt mit einer Masse von 100 [kg] rutscht auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel $\alpha = 30 \degree$) aus einer Höhe von $h=20 [m]$ hinunter. Mit welcher Geschwindigkeit $v$ kommt das Objekt unten an, wenn der Gleitreibungskoeffizient $\mu_G = 0,5$ beträgt?

    Gegeben und gesucht:
    Die Starthöhe $h=20[m]$, der Neigungswinkel der schiefen Ebene $\alpha = 30 \degree$, der Gleitreibungskoeffizient $\mu_G =0,5$ und die Masse des Objekts $m=100 [kg]$ sind angegeben. Gesucht ist die Aufprallgeschwindigkeit, d. h. die Geschwindigkeit unten am Fuß der schiefen Ebene ($h=0[m]$).

    Passende Formel:
    Oben ($h=20 [m]$) hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot}= mgh$.
    Unten ($h=0 [m]$) hat das Objekt nur die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$.
    Entlang der zurückgelegte Strecke $s$ verliert das Objekt durch die Gleitreibung die Reibungsenergie $E_R= F_R \cdot s$. Anwendung der Herleitung der Gleitreibungskraft in Kapitel 3 liefert $E_R = \mu_G \cdot mg \cos (\alpha) \cdot s $
    Abbildung 2 zeigt, dass für die zurückgelegte Strecke $s$ auf der schiefen Ebene gilt: $s = h / \sin(\alpha)$. Einsetzen liefert $$\begin{aligned} E_R &= F_R \cdot s \\ &= \mu_G \cdot mg \cos (\alpha) \frac {h}{\sin(\alpha)} \end{aligned}$$ Aus Kapitel 2 wissen wir, dass $\frac {\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cot (\alpha)$. Somit gilt $$E_R= \mu_G \cdot mg \cot (\alpha) \cdot h$$ Die Energieerhaltung besagt nun $E_{pot} – E_R = E_{kin}$, d. h. $$mgh – \mu_G \cdot mg \cot (\alpha) \cdot h= \frac 12 m v^2$$ Die Masse kann gekürzt werden, d.h. $$gh – \mu_G \cdot g \cot (\alpha) \cdot h= \frac 12 v^2$$ Auflösen nach v liefert $$v=\sqrt {2hg- 2 \mu_G \cdot g \cot (\alpha) \cdot h}$$ $$v=\sqrt {2hg (1- \mu_G \cdot \cot (\alpha))}$$ Beachte, dass in dieser Gleichung weder die Masse $m$ noch der Neigungswinkel $\alpha$ vorkommt. Diese Angaben benötigen wir nicht.

    Berechnung:
    Einsetzen der Werte liefert $$v = \sqrt {40 [m^2/s^2] (1-0,5 \cdot 0,57)} = 2,32 [m/s]$$
  5. Schiefe Ebene
    Abbildung 2: Für die zurückgelegte Strecke s auf der schiefen Ebene gilt $s = h / \sin(\alpha)$.

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Verwendung der Energieerhaltung bei schiefen Ebenen ohne Reibung

  1. In Kapitel 4 haben wir gelernt, warum in einem abgeschlossenen System, die Energie erhalten bleibt. In dieser Lektion werden wir die Energieerhaltung auf Aufgaben bezüglich der schiefen Ebene anwenden. Dabei werden wir die Reibungseffekte vernachlässigen. Folgende Begriffe und Größen musst du kennen:
      Kinetische und potenzielle Energie (Kapitel 4)
      Schiefe Ebene (Kapitel 3)
  2. Beispiel 1: Aufprallgeschwindigkeit beim Rutschen auf einer schiefen Ebene ohne Reibung
    Ein Objekt mit einer Masse von 100 [kg] rutscht auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel $\alpha = 30 \degree$) aus einer Höhe von $h=20 [m]$ hinunter. Mit welcher Geschwindigkeit $v$ kommt das Objekt unten an?

    Gegeben und gesucht:
    Die Starthöhe $h=20[m]$, der Neigungswinkel der schiefen Ebene $\alpha = 30 \degree$ und die Masse des Objekts $m=100 [kg]$ sind angegeben. Gesucht ist die Aufprallgeschwindigkeit, d. h. die Geschwindigkeit unten am Fuß der schiefen Ebene ($h=0[m]$).

    Passende Formel:
    Oben hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot}= mgh$
    Unten hat das Objekt nur die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$
    Die Energieerhaltung besagt, dass $E_{pot} = E_{kin}$. An dieser Stelle sind wir mit Physik fertig. Was jetzt folgt ist nur Mathematik und hat nichts mit Physik zu tun!
    Einsetzen der jeweiligen Formeln liefert $$mgh = \frac 12 m v^2$$ Gesucht ist ja die Geschwindigkeit $v$. Umformung der Gleichung nach $v$ liefert $$v=\sqrt {2gh}$$ Beachte, dass in dieser Gleichung weder die Masse $m$ noch der Neigungswinkel $\alpha$ vorkommt. Diese Angaben benötigen wir nicht.

    Berechnung:
    Einsetzen liefert $$\begin{aligned} v&= \sqrt {2gh} \\ &= \sqrt {2 \cdot 10 [m/s^2] \cdot 20 [m]} \\ &= \sqrt{400 [m^2/s^2]} \\ &= 20 [m/s] \end{aligned}$$
  3. An diesem Beispiel sieht man wieder, wie die Energieerhaltung die Berechnung vereinfacht. Obwohl es sich bei der Aufgabenstellung um eine schiefe Ebene handelt, benötigen wir keinerlei die trigonometrischen Funktionen.
  4. Nun schauen wir uns die Geschwindigkeit des Balls während des Falls an. Während des Falls wird die potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, d. h. der Ball hat sowohl potenzielle als auch kinetische Energie.
  5. Beispiel 2: Geschwindigkeit während des Rutschens auf einer schiefen Ebene ohne Reibung
    Ein Objekt mit einer Masse von 100 [kg] rutscht auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel $\alpha = 30 \degree$) aus einer Höhe von $h=20 [m]$ hinunter. Welche Geschwindigkeit hat er, wenn er sich $5 [m]$ über dem Boden befindet?

    Gegeben und gesucht:
    Die Starthöhe $h=20[m]$, der Neigungswinkel der schiefen Ebene $\alpha = 30 \degree$ und die Masse des Objekts $m=100 [kg]$ sind angegeben. Gesucht ist seine Geschwindigkeit in einer Höhe von $h_1=5[m]$.

    Passende Formel:
    Oben hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot0}= mgh_0$
    Unterwegs, d. h. bei der Höhe $h_1$ hat das Objekt sowohl die potenzielle Energie $E_{pot1}= mgh_1$ als auch die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$
    Die Energieerhaltung besagt, dass die Gesamtenergie zu jeder Zeit konstant bleibt, d.h. $E_{pot0} = E_{pot1}+E_{kin}$. An dieser Stelle sind wir mit Physik fertig. Was jetzt folgt ist nur Mathematik und hat nichts mit Physik zu tun!
    Einsetzen der jeweiligen Formeln liefert $$mgh_0 = mgh_1 + \frac 12 m v^2$$ Gesucht ist ja die Geschwindigkeit $v$. Nun formen wir die Gleichung nach $v$ um $$\begin{aligned} mgh_0 &= mgh_1 + \frac 12 m v^2 \\ gh_0 &= gh_1 + \frac 12 v^2 \\ \frac 12 v^2 &= gh_0 – gh_1 \\ v^2 &=2g(h_0 – h_1) \\ v &= \sqrt{2g(h_0 – h_1)} \end{aligned}$$ Beachte, dass in dieser Gleichung weder die Masse $m$ noch der Neigungswinkel $\alpha$ vorkommt. Diese Angaben benötigen wir nicht.
    Wenn du eine gute Note haben möchtest, solltest du in der Lage sein die obige Gleichung ohne Fehler umzuformen. Mein Vorschlag: üben, üben, üben.

    Berechnung:
    Einsetzen liefert $$\begin{aligned} v &= \sqrt{2g(h_0 – h_1)} \\ &= \sqrt {2 \cdot 10 [m/s^2] \cdot (20 [m] -5 [m])} \\ &= \sqrt{300 [m^2/s^2]} \\ &= 17,3 [m/s] \end{aligned}$$

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Verwendung der Energieerhaltung bei Fallvorgängen

  1. Die Energieerhaltung besagt, dass die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems stets gleich bleibt. Das ist nicht selbstverständlich, denn die Energie könnte ja auch theoretisch vernichtet werden oder aus dem Nichts entstehen! So ist es aber nicht.
  2. In Kapitel 4 haben wir gelernt, warum in einem abgeschlossenen System, die Energie erhalten bleibt. In dieser Lektion werden wir die Anwendung der Energieerhaltung auf diverse Fall- und Wurfaufgaben üben. Folgende Begriffe und Größen musst du kennen:
      Kinetische und potenzielle Energie (Kapitel 4)
      Wurf- und Fallbewegungen (Kapitel 3) und
  3. Betrachten wir zuerst die Energieerhaltung in ihrer einfachsten Form: $E_{pot} = E_{kin}$
  4. Beispiel 1: Freier Fall
    Ein Ball wird aus $20 [m]$ Höhe fallen gelassen. Welche Geschwindigkeit erreicht er beim Aufprall?

    Gegeben und gesucht:
    Die Starthöhe $h=20[m]$ ist angegeben. Gesucht ist die Aufprallgeschwindigkeit, d. h. die Geschwindigkeit bei $h=0[m]$ oder schöner geschrieben: gesucht ist $v(0[m])$.

    Passende Formel:
    Oben hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot}= mgh$
    Unten hat das Objekt nur die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$
    Die Energieerhaltung besagt, dass $E_{pot} = E_{kin}$. An dieser Stelle sind wir mit Physik fertig. Was jetzt folgt ist nur Mathematik und hat nichts mit Physik zu tun!
    Einsetzen der jeweiligen Formeln liefert $$mgh = \frac 12 m v^2$$ Gesucht ist ja die Geschwindigkeit $v$. Umformung der Gleichung nach $v$ liefert $$v=\sqrt {2gh}$$ Wenn du eine gute Note haben möchtest, solltest du in der Lage sein die obige Gleichung ohne Fehler umzuformen. Mein Vorschlag: Mach diese Umformung selber 10 Mal hintereinander.

    Berechnung:
    Einsetzen liefert $$\begin{aligned} v&= \sqrt {2gh} \\ &= \sqrt {2 \cdot 10 [m/s^2] \cdot 20 [m]} \\ &= \sqrt{400 [m^2/s^2]} \\ &= 20 [m/s] \end{aligned}$$
  5. Nun schauen wir uns die Geschwindigkeit des Balls während des Falls an. Während des Falls wird die potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, d. h. der Ball hat sowohl potenzielle als auch kinetische Energie.
  6. Beispiel 2: Freier Fall
    Ein Ball wird aus $20 [m]$ Höhe fallen gelassen. Welche Geschwindigkeit hat er, wenn er sich $5 [m]$ über dem Boden befindet?

    Gegeben und gesucht:
    Die Starthöhe $h_0=20[m]$ ist angegeben. Gesucht ist seine Geschwindigkeit in einer Höhe von $h_1=5[m]$ oder schöner geschrieben: gesucht ist $v(5[m])$.

    Passende Formel:
    Oben hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot0}= mgh_0$
    Unterwegs, d. h. bei der Höhe $h_1$ hat das Objekt sowohl die potenzielle Energie $E_{pot1}= mgh_1$ als auch die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$
    Die Energieerhaltung besagt, dass die Gesamtenergie zu jeder Zeit konstant bleibt, d.h. $E_{pot0} = E_{pot1}+E_{kin}$. An dieser Stelle sind wir mit Physik fertig. Was jetzt folgt ist nur Mathematik und hat nichts mit Physik zu tun!
    Einsetzen der jeweiligen Formeln liefert $$mgh_0 = mgh_1 + \frac 12 m v^2$$ Gesucht ist ja die Geschwindigkeit $v$. Nun formen wir die Gleichung nach $v$ um $$\begin{aligned} mgh_0 &= mgh_1 + \frac 12 m v^2 \\ gh_0 &= gh_1 + \frac 12 v^2 \\ \frac 12 v^2 &= gh_0 – gh_1 \\ v^2 &=2g(h_0 – h_1) \\ v &= \sqrt{2g(h_0 – h_1)} \end{aligned}$$ Wenn du eine gute Note haben möchtest, solltest du in der Lage sein die obige Gleichung ohne Fehler umzuformen. Mein Vorschlag: üben, üben, üben.

    Berechnung:
    Einsetzen liefert $$\begin{aligned} v &= \sqrt{2g(h_0 – h_1)} \\ &= \sqrt {2 \cdot 10 [m/s^2] \cdot (20 [m] -5 [m])} \\ &= \sqrt{300 [m^2/s^2]} \\ &= 17,3 [m/s] \end{aligned}$$
  7. Falls ein Objekt bereits zu Beginn des Falls eine Anfangsgeschwindigkeit hat, dann sprechen wir von einem senkrechten Wurf nach oben oder unten. In diesen Fällen hat das Objekt zu Beginn sowohl kinetische als auch potenzielle Energie.

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Wie kann man Summen vereinfachen?

  1. Betrachten wir ein Glas Wasser mit Milliarden Wassermolekülen. Wie lautet die Gesamtenergie dieses Systems? Ganz einfach, die Gesamtenergie ist die Summe der Energien der einzelnen Wassermoleküle.
  2. Die kinetische Energie eines Wassermoleküls lautet $$E=\frac 1 2 m v^2$$Wenn wir viele Moleküle haben, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, müssen wir diese voneinander unterscheiden. Hierfür benutzen wir einen Index. Der Index (Mehrzahl Indizes) ist eine laufende Nummer.
  3. Beispiel: in einem Glas Wasser hat das erste Molekül die kinetische Energie $E_1 = \frac 1 2 m_1 v_1^2$ und das achte Molekül die kinetische Energie $E_8 = \frac 1 2 m_8 v_8^2$
    Hier sind die Zahlen 1 und 8 die Indizes.
  4. Welches Molekül welchen Index (d.h. welche Nummer) trägt, ist uns überlassen und i.d. R. für große Systeme egal!
  5. Wenn wir von der kinetischen Energie eines beliebigen Wassermoleküls sprechen, ersetzen wir den Index durch eine Buchstabe z. B. i. Dann lautet die kinetische Energie eines beliebigen Wassermoleküls $$E_i = \frac 1 2 m_i v_i^2$$
  6. Wie lautet aber nun die Gesamtenergie des Systems?
    Ganz einfach, wir addieren alle kinetische Energien, d.h. $$E_{ges} = E_1 +E_2 +E_3 +E_4 + … +E_N$$Wobei N das letzte Wassermolekül ist.
    Einsetzen liefert: $$E_{ges} = \frac 1 2 m_1 v_1^2 + \frac 1 2 m_2 v_2^2 + \frac 1 2 m_3 v_3^2 + … + \frac 1 2 m_N v_N^2 $$
  7. Schon beim Schreiben dieser Summe habe ich keine Lust mehr auf Mathe und Physik. Als Mathematiker und Physiker sind wir faule Socken und möchten uns das Leben so einfach wie möglich gestalten. Aus diesem Grund benutzen wir eine einfache Schreibweise für lange Summen, nämlich $$\boxed{\sum_{i=1}^{i = 3} A_i = A_1 +A_2 +A_3}$$Die Summe aller $A_i$ von 1 bis 3 ist $A_1+A_2+A_3$.
  8. $\Sigma$ ist der griechische Großbuchstabe Sigma.
  9. Beispiel: $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{i = 3} i^2 &= 1^2 +2^2 +3^2 \\ &= 1 + 4+ 9 = 15 \end{aligned}$$
  10. Wie wir wissen, gilt: $$A_1 +A_2 +A_3 = A_3 +A_2 +A_1$$ deshalb können wir schreiben: $$\sum_{i=1}^{i = 3} A_i = \sum_{i=3}^{i = 1} A_i$$Die obere und untere Grenze einer Summe können vertauscht werden.
  11. Weiterhin wissen wir, dass: $$bA_1 +bA_2 +bA_3 = b(A_1 +A_2 +A_3)$$ Dies bedeutet, dass: $$\sum_{i=1}^{i = 3} bA_i = b \sum_{i=1}^{i = 3} A_i$$Ein Faktor kann aus der Summe ausgeklammert werden, wenn er in ALLEN Termen vorkommt.
  12. Eine Summe kann geteilt werden $$A_1 + A_2 +A_3 + A_4 = (A_1 + A_2) +(A_3 + A_4)$$ Es gilt also: $$\sum_{i=1}^{i = 4} A_i = \sum_{i=1}^{i = 2} A_i + \sum_{i=3}^{i = 4} A_i$$
  13. Für die Gesamte kinetische Energie eines Glas Wassers können wir also schreiben.$$E_{ges} = \frac 1 2 m_1 v_1^2 + \frac 1 2 m_2 v_2^2 + \frac 1 2 m_3 v_3^2 + … + \frac 1 2 m_N v_N^2 $$ $$E_{ges} = \sum_{i=1}^{i = N} \frac 1 2 m_i v_i^2 $$Und da alle Wassermoleküle die gleiche Masse haben, gilt $m_i = m$, d.h. $$E_{ges} = \sum_{i=1}^{i = N} \frac 1 2 m v_i^2 $$ $$E_{ges} = \frac 1 2 m \sum_{i=1}^{i = N} v_i^2 $$Und dies ist die elegante Darstellung einer Summe über mehrere Milliarden Terme!

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Die Energieerhaltung

  1. Ein System, dem weder Energie hinzugefügt noch Energie entnommen werden kann, bezeichnen wir als ein abgeschlossenes System.
  2. Die Energieerhaltung besagt nun, dass die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems stets gleich bleibt. Das ist nicht selbstverständlich, denn die Energie könnte ja auch theoretisch vernichtet werden oder aus dem Nichts entstehen! So ist es aber nicht.
  3. Obwohl die Energie in verschiedene Formen (z. B. kinetisch, potenziell, chemisch, elektrisch und etc.) umgewandelt werden kann, bleibt die Gesamtmenge der Energie in einem abgeschlossenen System gleich. Energie kann NICHT Produziert bzw. Vernichtet werden. Sie wird lediglich von einer Form in eine andere Form umgewandelt!
  4. Bei der Energieerhaltung reden wir immer von der Gesamtenergie eines Systems. Was ist die Gesamtenergie eines Systems?
    Die Gesamtenergie eines Systems ist die Summe der potenziellen und kinetischen Energien der Systembestandteile.
    Beispiel: die Gesamtenergie eines Systems bestehend aus einem einzigen Pendel ist gleich der Summe der potenziellen und der kinetischen Energie des Pendelkörpers.
    Die Gesamtenergie eines Systems bestehend aus 10 Pendeln ist die Summe der potenziellen und kinetischen Energien aller 10 Pendeln im System.
  5. Bei der Energieerhaltung reden wir immer von einem abgeschlossenen System. Was ist ein abgeschlossenes System?
    Nun es ist tatsächlich sehr schwer ein abgeschlossenes System zu finden, denn Reibung z. B. führt dazu, dass alle kleine Systeme nicht mehr abgeschlossen sind, denn die Wärme, die durch Reibung entsteht, wird an die Umgebung abgegeben.
    Ist ein Pendel ein abgeschlossenes System? Streng genommen nicht, da durch Interaktion mit der Umgebungsluft, Reibung entsteht.
    Ist ein Pendel im Vakuum ein abgeschlossenes System? Fast, aber am Aufhängepunkt verliert das System durch Reibung immer noch Energie an die Umgebung (wenn auch minimal).
    Ist die Erde ein abgeschlossenes System? Definitiv nicht, denn die Erde verliert ständig Wärme ans Weltall und bekommt wiederum kontinuierlich Wärme von der Sonne.
    Ist das gesamte Universum ein abgeschlossenes System? Wenn du die Antwort auf diese Frage herausfindest, ist dir ein Nobelpreis definitiv sicher! Vergiss dann nicht diese App zu nennen :D.
  6. Die Energieerhaltung ist ein Segen für uns Physiker, denn sie ermöglicht uns viele komplizierte Fragestellungen auf sehr simple Art und Weise zu lösen. Hierzu folgt ein Beispiel.
  7. Schiefe Ebene
    Abbildung 1: Ein Objekt rutscht aufgrund seiner Gewichtskraft F (blau) eine schiefen Ebene hinunter.
    Ein Beispiel:
    Ein Objekt (s. Abbildung 1) mit einer Masse von 100 [kg] rutscht auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel $\alpha = 30 \degree$) aus einer Höhe von $h=2 [m]$ hinunter. Mit welcher Geschwindigkeit $v$ kommt das Objekt unten an?

    Lösung 1: Bisher haben wir solche Aufgaben folgenderweise gelöst
    Gesucht ist die Geschwindigkeit $v$. Es gilt $v = at$. Wir brauchen also a und t.
    Es gilt: $F = ma$, d. h. $a = \frac F m$. Vorsicht: Hier ist mit F die Parallelkomponente der Kraft, d. h. $F_{||}$ gemeint, da diese für die Bewegung verantwortlich ist. Diese Kraftkomponente ist in Abbildung 1 rot markiert. Einsetzen ergibt $$v = \frac {F_{||}} m t$$
    Nun benötigen wir die Rutschdauer t. Es gilt $s= \frac 12 at^2$. Auflösen nach t liefert $$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$$Für die Beschleunigung a setzen wir wieder $a=\frac {F_{||}} m$ ein. Was ist die Wegstrecke s?
    Nun die Wegstrecke s ergibt sich aus dem Neigungswinkel (s. Kapitel 3). Es gilt $sin (\alpha) = \frac h s$, wobei h die Höhe der schiefen Ebene und s die Länge der schiefen Ebene darstellt. Es gilt also $$s = \frac {h}{sin (\alpha)} $$ Einsetzen in t liefert für die Zeit $$t = \sqrt{\frac{2 \frac {h}{sin (\alpha)}}{\frac {F_{||}} m}}$$ Das Einzige was uns noch fehlt ist $F_{||}$. Wieder verwenden wir den Sinus. Es gilt $$sin (\alpha) = \frac {F_{||}} F $$ Also $$F_{||} = F \cdot sin (\alpha) $$ Mit der Gewichtskraft $F = m g$ erhalten wir $$F_{||} = mg \cdot sin (\alpha)$$ Nun setzen wir $F_{||}$ in t und v ein und erhalten $$v = \frac {mg \cdot sin (\alpha) } m \sqrt{\frac{2 \frac {h}{sin (\alpha)}}{\frac {mg \cdot sin (\alpha)} m}}$$ Wir können viel kürzen und erhalten letztendlich $$v=\sqrt {2hg}$$ Einsetzen der zahlen liefert $$v = \sqrt {40 [m^2/s^2]} = 6,32 [m/s]$$ Endlich geschafft!!!

    Lösung 2: Anwendung der Energieerhaltung
    Oben hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot}= mgh$
    Unten hat das Objekt nur die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$
    Energieerhaltung besagt $E_{pot}=E_{kin}$, d. h. $$mgh = \frac 12 m v^2$$ Auflösen nach v liefert $$v=\sqrt {2hg}$$ Für diese Formel haben wir bei der 1. Lösung eine Ewigkeit benötigt!!! Einsetzen der Werte liefert $$v = \sqrt {40 [m^2/s^2]} = 6,32 [m/s]$$ Fertig!!!
    Habe ich erwähnt, dass die Energieerhaltung für uns Physiker ein Segen ist, denn sie ermöglicht uns viele komplizierte Fragestellungen auf sehr simple Art und Weise zu lösen?
  8. Warum gibt es aber überhaupt die Energieerhaltung? Die Energieerhaltung ist eine Folge der Zeitinvarianz der Naturgesetze. Was heißt das?
    Die physikalische Gesetze gelten unabhängig davon, ob die Zeit vorwärts, rückwärts, schneller oder langsamer, in unserer Galaxie oder wo anders im Universum läuft. Deshalb ist auch die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System stets konstant, weil durch diese Zeitinvarianz keine Energie produziert, oder vernichtet werden kann.
    Die physikalischen Gesetze sind auch in allen Raumrichtungen gleich, d.h. es gibt auch eine Rauminvarianz der Physik. Und dies mein junger Paderwan führt uns zur Impulserhaltung.
    Es ist eben alles nur Raum und Zeit!

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Was ist kinetische Energie?

  1. Stellen wir uns einen Asteroiden im All vor. Der Asteroid bewegt sich nicht und es gibt auch keine Kräfte, die auf ihn wirken. Nun kommt ein Astronaut herangeflogen und kickt den Asteroiden mit einer Kraft von $F=100 [N]$ weg. Nach $s=0,5 [m]$ trennt sich der Asteroid von dem Fuß des Astronauten und bewegt sich mit konstanter Beschleunigung in die Tiefen des Alls weiter.
  2. Während des Kick-Vorgangs wirkt die Kraft $F=100 [N]$ auf den Asteroiden. Diese Kraft beschleunigt den Asteroiden für die Strecke $s=0,5 [m]$. Damit wird die Arbeit $W=F \cdot s = 100 [N] \cdot 0,5 [m] =50 [J]$ vom Astronauten verrichtet.
  3. Der Asteroid bewegt sich im All weiter, nachdem er vom Fuß des Astronauten weggeprallt ist. Die verrichtete Arbeit des Astronauten ist aber nicht verloren. Sie ist in der Bewegung des Asteroiden gespeichert. Diese Bewegungsenergie wird kinetische Energie genannt.
  4. Da Energie und Arbeit gleich sind, können wir für die kinetische Energie schreiben $$E_{kin} = F \cdot s$$Wir wissen, dass $F=ma$ (2. Newtonsches Gesetz) und $s=\frac 1 2 at^2$ (einfache Bewegungsgleichung) . Einsetzen in $E_{kin}$ ergibt $$E_{kin} = F \cdot s = m a \frac 1 2 a t^2 =\frac 1 2 m a^2 t^2 $$ Da $a t = v$ erhalten wir $$\boxed {E_{kin} = \frac 1 2 m v^2}$$Für die kinetische Energie eines Objekts.
  5. In der Delta-Schreibweise (s. Kapitel 1) können wir schreiben $$\Delta E_{kin} = \frac 1 2 m (\Delta v)^2$$
  6. Was passiert, wenn sich ein Objekt doppelt so schnell bewegt?
    Doppelt so schnell bedeutet $v_2= 2 \cdot v_1$. Einsetzen in die Formel für kinetische Energie liefert $$\begin{aligned}E_2 &= \frac 1 2 m v_2^2 \\ &= \frac 1 2 m (2 v_1)^2 \\ &= \frac 1 2 4 m v_1^2 \\ &= 4 (\frac 1 2 m v_1^2) \\ &=4 \cdot E_1\end{aligned}$$ Wenn sich die Geschwindigkeit verdoppelt, dann vervierfacht sich die kinetische Energie. (Für Streber der Nation: dies wird als eine quadratische Abhängigkeit bezeichnet.)
  7. Was passiert, wenn sich die Masse eines Objekts verdoppelt?
    Doppelte Masse bedeutet $m_2= 2 \cdot m_1$. Einsetzen in die Formel für kinetische Energie liefert $$\begin{aligned}E_2 &= \frac 1 2 m_2 v^2 \\ &= \frac 1 2 (2m_1)m v^2 \\ &= 2 \frac 1 2 m_1 v^2 \\ &= 2 (\frac 1 2 m_1 v^2) \\ &=2 \cdot E_1\end{aligned}$$ Wenn sich die Masse verdoppelt, dann verdoppelt sich auch die kinetische Energie. (Für Streber der Nation: dies wird als eine lineare Abhängigkeit bezeichnet.)
  8. Vor ca. 65 Mio. Jahren hat ein Asteroid mit der Masse 1000 Billionen Tonnen ($m=10^{15} [kg]$) die Erde mit der Geschwindigkeit 20.000 [m/s] getroffen und die Dinosaurier ausgelöscht. Seine Kinetische Energie betrug $$\begin{aligned} E_{kin} &= \frac 1 2 m v^2 \\ &= 200.000.000.000.000.000.000 [J] \\ &= 2 \cdot 10^{20} [J] \end{aligned}$$ Diese Energie entspricht ungefähr der gleichzeitigen Explosion von zwei Milliarden Hiroshima Atombomben!

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