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Berechnung von geraden elastischen Stößen (2)

  1. Bei einem geraden Stoß bewegen sich die Stoßpartner vor und nach dem Stoß entlang einer Gerade. Wir benötigen also keine vektorielle Betrachtung der Größen durchzuführen.
  2. Bei einem elastischen Stoß bleiben die kinetischen Energien der Stoßpartner vor und nach dem Stoß erhalten.
  3. Nun möchten wir das Verhalten der Stoßpartner nach dem Stoß vorhersagen. Wir bezeichnen die Stoßpartner mit a und b, ihre Massen mit $m_a$ und $m_b$ und ihre Geschwindigkeiten vor dem Stoß mit $v_a$ und $v_b$. Alle diese Angaben sind vorhanden. Die Geschwindigkeiten der Stoßpartner nach dem Stoß sind unbekannt und wir nennen diese $u_a$ für den Stoßpartner a und $u_b$ für den Stoßpartner b.
  4. Anwendung der Impuls- und Energieerhaltung liefert für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß: $$\boxed{\begin{aligned} u_a &=\frac{ 2m_b v_b +(m_a – m_b) v_a}{(m_a + m_b)} \\ \\ u_b &=\frac{ 2m_a v_a +(m_b – m_a) v_b}{(m_a + m_b)} \end{aligned}}$$
  5. Betrachten wir nun einige Beispiele, wie uns diese zwei Gleichungen helfen können. Die Berechnungen sind simpel und werden deshalb nicht ausführlich dargestellt. Nichtsdestotrotz sollst du dir die Zeit nehmen um diese Berechnungen jeweils mindestens 3 Mal schriftlich durchzuführen, denn diese könnten in Prüfungen und Klausuren abgefragt werden 😄.
  6. Fall A: Stoßpartner haben die gleiche Masse und ein Stoßpartner (Objekt b) ruht. Mathematisch bedeutet dies, dass $m_a=m_b$ und für das ruhende Objekt b gilt $v_b=0$. Einsetzen in die oberen Gleichungen liefert: $$\begin{aligned} u_a & = 0 \\ u_b &= v_a \end{aligned}$$ Nach dem Stoß bleibt also das stoßende Objekt stehen ($u_a=0$) und das ruhende Objekt bewegt sich mit der Geschwindigkeit des stoßenden Objekts ($u_b = v_a$) weiter. Konkret kann man sich das Billardspiel vorstellen. Dabei haben alle Bälle die gleiche Masse und es wird mit dem weißen Ball auf ruhende Bälle geschossen. Falls der Stoß zentral erfolgt, bleibt der weiße Ball stehen und der gestoßene Ball bewegt sich mit der Geschwindigkeit des weißen balls vor dem Stoß weiter.
  7. Fall B: Stoßpartner haben die gleiche Masse und bewegen sich nicht gleicher Geschwindigkeit aufeinander zu. Mathematisch bedeutet dies, dass $m_a=m_b$ und $v_a=-v_b$. Einsetzen in die oberen Gleichungen liefert: $$\begin{aligned} u_a &= – v_b \\ u_b &=v_a \end{aligned}$$ Nach dem Stoß vertauschen die Stoßpartner ihre Geschwindigkeiten und bewegen sich mit gleicher Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen voneinander weg. Konkret kann man sich das Billardspiel vorstellen. Dabei haben alle Bälle die gleiche Masse. Wenn nun zwei Bälle mit gleicher Geschwindigkeit frontal zusammenstoßen, dann prallen sie aneinander ab und bewegen sich mit der ursprüngliche Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen voneinander weg.
  8. Fall C: Ein Stoßpartner hat eine sehr viel größere Masse und ruht (Objekt a). Mathematisch bedeutet dies, dass $m_a >> m_b$ und $v_a=0$. Wir machen dies noch extremer indem wir annehmen, dass das ruhende Objekt eine unendliche Masse hat, d. h. $m_a = \infty$. Einsetzen in die oberen Gleichungen liefert: $$\begin{aligned} u_a &=0 \\ u_b &= – v_b \end{aligned}$$ Nach dem Stoß bleibt das unendlich schwere Objekt weiterhin in Ruhe ($u_a=0$). Das sich bewegende Objekt aber prallt zurück und bewegt sich mit seiner ursprünglichen Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtung weiter. Konkret kann man sich eine Mauer und einen Ball vorstellen. Der leichte Ball prallt (unter Vernachlässigung von Reibungsverlusten) mit seinem ursprünglichen Geschwindigkeit an die Mauer ab.
  9. Fall D: Ein Stoßpartner hat eine sehr viel größere Masse (Objekt a) und der andere Stoßpartner ruht (Objekt b). Mathematisch bedeutet dies, dass $m_a >> m_b$ und $v_b=0$. Einsetzen in die oberen Gleichungen liefert: $$\begin{aligned} u_a &= v_a \\ u_b &= 2 v_a \end{aligned}$$ Nach dem Stoß bewegt sich das sehr schwere Objekt a mit unveränderter Geschwindigkeit weiter ($u_a = v_a$). Das ruhende leichte Objekt b bewegt sich in die gleiche Richtungen, wie das Objekt a, aber mit doppelter Geschwindigkeit von Ihm weg ($u_b = v_a$). Ein gutes Beispiel hierfür ist der Golfsport. Der Schläger ist jeweils sehr schwer und bewegt sich, während der Ball ruht. Nach dem Schlag bewegt sich der Schläger zuerst weiter und der Ball fliegt mit einem höheren Geschwindigkeit als der Schläger in die gleiche Richtung weg (wir vernachlässigen hierbei die beschleunigende und bremsende Einflüsse des Spielers).
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Berechnung von geraden elastischen Stößen (1)

  1. Bei einem geraden Stoß bewegen sich die Stoßpartner vor und nach dem Stoß entlang einer Gerade. Wir benötigen also keine vektorielle Betrachtung der Größen durchzuführen.
  2. Bei einem elastischen Stoß bleiben die kinetischen Energien der Stoßpartner vor und nach dem Stoß erhalten.
  3. Nun möchten wir das Verhalten der Stoßpartner nach dem Stoß vorhersagen. Zuerst die Physik. Wir bezeichnen die Stoßpartner mit a und b, ihre Massen mit $m_a$ und $m_b$ und ihre Geschwindigkeiten vor dem Stoß mit $v_a$ und $v_b$. Alle diese Angaben sind vorhanden. Die Geschwindigkeiten der Stoßpartner nach dem Stoß sind unbekannt und wir nennen diese $u_a$ für den Stoßpartner a und $u_b$ für den Stoßpartner b.
  4. Die Impulserhaltung besagt, dass der Gesamtimpuls vor dem Stoß $p_{vorher}$ gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß $p_{nachher}$ ist, d. h. $$p_{vorher} = p_{nachher}$$ Der Gesamtimpuls ist die Summe der Impulse der beiden Stoßpartner (a und b), also $$m_a v_a + m_b v_b = m_a u_a + m_b u_b$$
  5. Die Erhaltung der kinetischen Energien besagt, dass die kinetische Energie des Systems vor dem Stoß $E^{kin}_{vorher}$ gleich der kinetischen Energie des Systems nach dem Stoß $E^{kin}_{nachher}$ ist, d. h. $$E^{kin}_{vorher} = E^{kin}_{nachher}$$ Die kinetische Energie des gesamten Systems ist die Summe der kinetischen Energien der beiden Stoßpartner (a und b), also $$\frac 1 2 m_a v_a^2 + \frac 12 m_b v_b^2 = \frac 1 2 m_a u_a^2 + \frac 1 2 m_b u_b^2$$
  6. An dieser Stelle ist vorerst die Physik vorbei. Wir benötigen nun Mathematik, um die zwei Gleichungen nach $u_a$ und $u_b$ aufzulösen. Hier nochmal die Gleichungen: $$\boxed{ \begin{aligned} m_a v_a + m_b v_b &= m_a u_a + m_b u_b \\ \frac 1 2 m_a v_a^2 + \frac 12 m_b v_b^2 &= \frac 1 2 m_a u_a^2 + \frac 1 2 m_b u_b^2 \end{aligned} }$$
  7. Durch mathematische Operationen können wir nun $u_a$ und $u_b$ bestimmen. Klicke auf diesen Text, wenn du eine ausführliche Erläuterung haben möchtest.
  8. Zuerst bringen wir alle Terme, die mit dem Stoßpartner a zutun hat auf die linke Seite und alle Terme, die den Stoß b betreffen auf die rechte Seite. Hier nochmal die Gleichungen: $$\begin{aligned} m_a v_a – m_a u_a &= m_b u_b – m_b v_b \\ \frac 1 2 m_a v_a^2 – \frac 1 2 m_a u_a^2 &= \frac 1 2 m_b u_b^2 – \frac 12 m_b v_b^2 \end{aligned} $$
  9. Nun klammern wir in beiden Gleichungen die Massen aus. Hier nochmal die Gleichungen: $$\begin{aligned} m_a (v_a – u_a) &= m_b ( u_b – v_b) \\ \frac 1 2 m_a (v_a^2 – u_a^2) &= \frac 1 2 m_b (u_b^2 – v_b^2) \end{aligned} $$
  10. In der zweiten Gleichung können wir $\frac 1 2$ auf beiden Seiten wegkürzen. Hier nochmal die Gleichungen: $$\begin{aligned} m_a (v_a – u_a) &= m_b ( u_b – v_b) \\ m_a (v_a^2 – u_a^2) &= m_b (u_b^2 – v_b^2) \end{aligned} $$
  11. Jetzt dividieren wir die untere Gleichung durch die obere Gleichung und erhalten: $$\frac {m_a (v_a^2 – u_a^2)}{m_a (v_a – u_a)} = \frac{m_b (u_b^2 – v_b^2)}{m_b ( u_b – v_b)} $$
  12. Wir kürzen die Massen und erhalten: $$\frac { (v_a^2 – u_a^2)}{ (v_a – u_a)} = \frac{ (u_b^2 – v_b^2)}{ ( u_b – v_b)} $$
  13. Auf beiden Seiten jeweils im Zähler schreiben wir die 3. binomische Formel aus: $$v_a^2-u_a^2 = (v_a-u_a) (v_a+u_a)$$ und erhalten: $$\frac { (v_a – u_a)(v_a + u_a)}{ (v_a – u_a)} = \frac{ (u_b – v_b)(u_b + v_b)}{ (u_b – v_b)} $$
  14. Herrlich! Nun können wir ganze Klammern aus den Zählern und Nennern kürzen und erhalten: $$v_a + u_a= u_b + v_b$$
  15. Umformung nach der unbekannten Geschwindigkeit $u_b$ ergibt: $$ u_b = v_a + u_a – v_b $$ Wir können natürlich auch nach $u_a$ umformen!
  16. Wir setzen diese $u_b$ in die Impulsgleichung: $$ m_a v_a + m_b v_b = m_a u_a + m_b u_b $$ ein und bekommen: $$\begin{aligned} m_a v_a + m_b v_b &= m_a u_a + m_b (v_a + u_a – v_b) \\ m_a v_a + m_b v_b &= m_a u_a + m_b v_a + m_b u_a – m_b v_b \end{aligned}$$ Selbstverständlich könnten wir auch $u_b$ in die Energiegleichung einsetzen, aber das würde alles wegen den quadratischen Termen verkomplizieren, und wir sind von Natur aus faul!
  17. Nun lösen wir diese Gleichung nach $u_a$ auf: $$\begin{aligned} m_a u_a + m_b v_a + m_b u_a – m_b v_b &= m_a v_a + m_b v_b \\ m_a u_a + m_b u_a &= m_a v_a + m_b v_b – m_b v_a + m_b v_b \\ u_a (m_a + m_b) &= (m_a – m_b) v_a + 2m_b v_b \end{aligned}$$
  18. Eine ähnliche Vorgehensweise kann auch für $u_b$ verwendet werden.
  19. Für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß gilt also: $$\boxed{\begin{aligned} u_a &=\frac{ 2m_b v_b +(m_a – m_b) v_a}{(m_a + m_b)} \\ \\ u_b &=\frac{ 2m_a v_a +(m_b – m_a) v_b}{(m_a + m_b)} \end{aligned}}$$ An dieser Stelle sind wir mit Mathematik fertig und können wieder Physik betreiben. Dafür klopfen wir uns auf die Schulter 😄 und belohnen uns z. B. durch eine Tasse Kaffee, eine Runde Zocken und was immer man so mag.
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Anwendung der Impulserhaltung

  1. Ein System, welches keine äußeren Kräfte erfährt, bezeichnen wir als ein abgeschlossenes System. In solch einem System bleibt der Impuls erhalten.
  2. Die Impulserhaltung gilt immer unabhängig von Energieerhaltung. Deshalb ist sie wichtiger und nützlicher als die Energieerhaltung.
  3. Viele physikalische Vorgänge basieren auf Stoßprozesse zwischen mikroskopischen Teilchen z. B. in der Atom- und Teilchenphysik, in der Wärmetheorie. Aber auch bei Asteroiden- und Planetenphysik sind Stoßprozesse relevant. Stöße sind überall um uns herum! Deshalb sollte jeder, der sich freiwillig oder unfreiwillig 😄 mit Physik befasst, Stoßprozesse verstehen und das Verhalten der Stoßpartner nach dem Stoß vorhersagen zu können.
  4. Bei allen Stoßvorgängen gilt die Impulserhaltung!
  5. Die Energieerhaltung gilt auch immer, aber häufig führen Stöße zur Umwandlung der Energie in Wärme, Formänderung oder Energieverlust durch Reibung. In diesen Fällen verlässt die Energie das Impulssystem.
  6. Wenn bei einem Stoß die gesamte kinetische Energie des Systems erhalten bleibt, dann sprechen wir von einem elastischen Stoß.
  7. Wenn sich bei einem Stoß ein Anteil der kinetischen Energie umwandelt (z. B. in Wärme, Deformation) oder durch Reibung das System verlässt, dann sprechen wir von einem inelastischen oder unelastischen stoß.
  8. Wenn der Stoß entlang einer Linie erfolgt, wie z. B. zwei Zügen auf Schienen dann sprechen wir von einem geraden oder zentralen Stoß.
  9. Bewegen sich die Stoßpartner vor oder nach dem Stoß in unterschiedlichen Richtungen auf einer Ebene, wie Billard-Kugeln, so sprechen wir von einem schiefen oder nicht-zentralen Stoß. Hierbei ist eine vektorielle Betrachtung erforderlich.

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Die Impulserhaltung

  1. Ein System, welches keine äußeren Kräfte erfährt, bezeichnen wir als ein abgeschlossenes System.
  2. Wenn keine äußeren Kräfte auf das System wirken, gilt $F_{ges}=0$.
  3. Für den Impuls gilt $\Delta p = F \cdot \Delta t$. Umformung nach F ergibt $$ F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$
  4. In Kapitel 1 haben wir gelernt, dass wir $\Delta p = p_2-p_1$ und $\Delta t=t_2-t_1$ schreiben können. Einsetzen liefert $$F = \frac{p_2 – p_1}{t_2 – t_1}$$
  5. Wenn keine äußeren Kräfte auf das System wirken, gilt $F_{ges}=0$, d.h. $$\frac{p_2-p_1}{t_2-t_1} = 0$$Ein Bruch ist dann gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist, d.h. $p_2 – p_1=0$. Umformung zeigt $$p_2=p_1$$
  6. Bedeutung: In Kapitel 1 (Lektion: Was ist eine Funktion) haben wir gelernt, dass $p_2$ der Impuls zum Zeitpunkt $t_2$ und $p_1$ der Impuls zum Zeitpunkt $t_1$ darstellen. Mathematiker schreiben dies so $p_2 = p(t_2)$ und $p_1 = p(t_1)$
  7. Die Gleichung $p2=p1$ bedeutet, dass sich der Impuls eines abgeschlossenen Systems mit der Zeit nicht ändert, d.h. $$\boxed{p(t) = \text{konstant}}$$Dies wird als Impulserhaltung bezeichnet.
  8. Die Impulserhaltung gilt immer unabhängig von Energieerhaltung. Deshalb ist sie wichtiger und nützlicher als die Energieerhaltung.
  9. Beispiel für Impulserhaltung
    Ein Astronaut (Masse $m_A = 100 [kg]$ wirft im All einen Hammer (Masse $m_H= 1[kg]$) mit einer Geschwindigkeit von $v_H = 20 [\frac m s]$ von sich weg. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der Astronaut nach dem Wurf?

    Die Impulserhaltung sagt, dass der Gesamtimpuls eines Systems ohne Einwirken von äußeren Kräften stets gleich bleibt.

    Impuls vor dem Wurf:
    Da wir nicht wissen, wie sich der Astronaut mit seinem Hammer vor dem Wurf bewegt hat, wählen wir ein Bezugssystem (d.h. ein Koordinatensystem), das sich mit dem Astronauten mitbewegt. In diesem Bezugssystem, haben der Astronaut und sein Hammer die Geschwindigkeit Null ($v_A = 0$ und $v_H=0$). Für den Impuls gilt: $$p_{vorher} = m_A \cdot v_A + m_H \cdot v_H = 0$$ Nach dem Wurf bewegt sich der Hammer mit $v_H = 20 [\frac m s]$ vom Astronauten weg. Der Gesamtimpuls des Systems, darf sich aber gemäß Impulserhaltung nicht verändert haben, d.h. $$p_{nachher} = m_A \cdot v_A + m_H \cdot v_H = 0$$ Formen wir diese Gleichung nach $v_A$ um und erhalten: $$v_A = – \frac {m_H \cdot v_H}{m_A}$$ Einsetzen der Werte ergibt: $$\begin{aligned} v_A &= – \frac {1 [kg] \cdot 20 [\frac m s]}{100 [kg]} \\ &= 0.2 [\frac m s] \end{aligned}$$ Das negative Vorzeichen der Geschwindigkeit besagt, dass sich der Astronaut in entgegengesetzter Richtung zum Hammer bewegt.
  10. Die Impulserhaltung ist eine direkte Folge der Homogenität des Raumes. Dies bedeutet, dass die physikalischen Gesetze unabhängig davon gelten, ob wir uns von Rechts nach Links, von Vorne nach Hinten, oder von Oben nach Unten bewegen.
    Für Streber der Nation: Dies wird als Invarianz der Naturgesetze gegenüber Raumdimensionen bezeichnet.

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