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Kraft, Energie, Impuls

  1. Einflüsse, die dazu führen könnten die Geschwindigkeit eines Objekts zu ändern bezeichnen wir als Kräfte. Eine Kraft ($\vec F$) ist die Fähigkeit die Geschwindigkeit eines Objekts zu ändern.
  2. Wenn eine Kraft $F$ ein Objekt um die Strecke $s$ verschiebt, dann sagen wir: „die Kraft $F$ hat an dem Objekt die Arbeit $W$ verrichtet“. W steht für „Work“ (das englische Wort für Arbeit). Natürlich ist die verrichtete Arbeit mehr, je größer die wirkende Kraft ist oder je größer die Verschiebungsstrecke $s$ ist. Deshalb definieren wir die physikalische Arbeit $$\boxed{W=F \cdot s}$$
  3. Die Arbeit kann also gespeichert und wieder freigesetzt werden. In der Physik wird die gespeicherte Arbeit als Energie bezeichnet. Energie und Arbeit sind verschiedene Formen der selben Größe. Wenn ein Objekt durch eine Kraft verschoben wird, dann sprechen wir von der Arbeit, die an das Objekt verrichtet wird. Nachdem das Verschieben vorbei ist, geht die Arbeit nicht verloren. Die verrichtete Arbeit ist jetzt im Objekt gespeichert. In diesem Fall sprechen wir dann von der gespeicherten Energie.
  4. Wenn eine Kraft F ein Objekt um die Strecke s verschiebt, dann wird die Arbeit $W=F \cdot s$ verrichtet. Die Arbeit ist somit die Wirkung einer Kraft F im Raum (Strecke s).
  5. Was ist mit der Wirkung einer Kraft in der Zeit?
    Wenn eine Kraft F ein Objekt für die Dauer t verschiebt, dann wird der Impuls p auf das Objekt übertragen. Für den Impuls können wir (wie für die Arbeit) schreiben $$\boxed{p=F \cdot t}$$
  6. Nochmal zur Verdeutlichung:
    Wirkung einer Kraft im Raum $$ Arbeit (Energie) = Kraft \times Strecke$$ Wirkung einer Kraft in der Zeit $$Impuls = Kraft \times Zeit$$
  7. Die folgende Tabelle liefert eine Übersicht der relevanten Wechselbeziehungen:
    Größe Energie Impuls
    Kraftwirkung im Raum
    $E = \vec F \cdot \vec s$
    in der Zeit
    $\vec p = \vec F \cdot t$
    Bewegung $E = \frac 1 2 m v^2$ $\vec p = m \vec v$
    Umformung $E = \frac {p^2} {2 m}$ $p = \sqrt{2mE}$
    Grund Zeitinvarianz Rauminvarianz

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Vektorielle Betrachtung von Arbeit, Energie und Impuls

Vektorielle Betrachtung von Impuls

  1. Viele physikalische Größen sind Vektoren. Ein Vektor ist eine Größe, die eine Richtung und eine Länge hat (wie ein Pfeil mit einer Richtung und einer Länge).
  2. In Kapitel 2 haben wir gelernt, dass Kräfte Vektoren sind, da diese sowohl einen Betrag (Länge) als auch eine Richtung vorweisen.
  3. Nun betrachten wir den Impuls $$p= F \cdot t$$Die Kraft $F$ ist ein Vektor, d. h. $$\vec{F} = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix}$$Die Zeit t hingegen ist eine Zahl (Mathematiker bezeichnen Zahlen als skalare Größen)
    Wir bilden den Impuls, indem wir die Koordinaten des Kraftvektors mit der Zeit t multiplizieren, d.h. $$\vec{p} = \begin{pmatrix} F_x \cdot t \\ F_y \cdot t \\ F_z \cdot t \end{pmatrix}$$Wie man leicht erkennen kann, ist auch der Impuls ein Vektor!
  4. Wenn eine vektorielle Größe mit einer Zahl multipliziert wird, dann erhalten wir wieder einen Vektor!

Vektorielle Betrachtung von Arbeit

    Skalarprodukt
    Abbildung 1: Zwei Beispiele bei denen die wirkende Kraft F (blau) und die Bewegung s (grün) nicht gleichgerichtet sind.
    a) Ein Waggon auf Schienen wird mit Kraft F (blau) schräg zur Schienenrichtung gezogen. Die Bewegung erfolgt entlang der Schiene.
    b) Die Bewegung eines Objekts auf einer schiefen Ebene erfolgt in Richtung der Schräge s und nicht in Richtung der einwirkenden Gewichtskraft F (blau).
    In beiden Fällen muss die Kraft F in seine Bestandteile zerlegt werden, um die Kraft $F_{||}$ (rot) parallel zur Bewegungsrichtung zu bestimmen. Für die verrichtete Arbeit gilt in beiden Fällen $W = \vec F \cdot \vec s = F_{||} \cdot s$
  1. Wir haben gesehen, dass der Impuls eine vektorielle Größe ist, weil die Kraft ein Vektor ist.
  2. Die Arbeit hingegen ist eine skalare Größe d. h. eine Zahl und KEIN VEKTOR! Das Gleiche gilt auch für die Energie. Aber warum? Schließlich ist Arbeit $$W = F \cdot s$$ und F ist doch auch ein Vektor.
  3. Korrekt: F ist ein Vektor, aber s auch! Die Verschiebung s kann nach rechts, links, oben oder schräg erfolgen. Die Verschiebung s ist also ebenfalls ein Vektor, da sie eine Richtung besitzt.
  4. Wir haben es bei der Arbeit und der Energie also mit dem Produkt von zwei Vektoren zutun (s. Abbildung 1). Dafür haben wir in der letzten Lektion das Skalarprodukt kennen gelernt.
  5. Die Arbeit ist das Skalarprodukt der Kraft und der Strecke, d.h. $$W = \vec F \cdot \vec s$$Und wenn $\vec{F} = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix}$ und $\vec{s} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, dann gilt $$W = \begin{pmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = F_x \cdot x +F_y \cdot y + F_z \cdot z$$

Vektorielle Betrachtung von Leistung

  1. Analog zur Arbeit ist auch die Leistung eine skalare Größe d. h. eine Zahl und kein Vektor!
  2. Darauf kann man auf zwei Wege kommen:
    Weg 1: $P= \frac W t$ muss ein Skalar sein, da sowohl W als auch t skalare Größen sind.
    Weg 2: $P= \vec F \cdot \vec v$ ist das Skalarprodukt der Kraft- und Geschwindigkeitsvektors und daher eine skalare Größe (d.h. eine Zahl und kein Vektor).

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Die Impulserhaltung

  1. Ein System, welches keine äußeren Kräfte erfährt, bezeichnen wir als ein abgeschlossenes System.
  2. Wenn keine äußeren Kräfte auf das System wirken, gilt $F_{ges}=0$.
  3. Für den Impuls gilt $\Delta p = F \cdot \Delta t$. Umformung nach F ergibt $$ F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$
  4. In Kapitel 1 haben wir gelernt, dass wir $\Delta p = p_2-p_1$ und $\Delta t=t_2-t_1$ schreiben können. Einsetzen liefert $$F = \frac{p_2 – p_1}{t_2 – t_1}$$
  5. Wenn keine äußeren Kräfte auf das System wirken, gilt $F_{ges}=0$, d.h. $$\frac{p_2-p_1}{t_2-t_1} = 0$$Ein Bruch ist dann gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist, d.h. $p_2 – p_1=0$. Umformung zeigt $$p_2=p_1$$
  6. Bedeutung: In Kapitel 1 (Lektion: Was ist eine Funktion) haben wir gelernt, dass $p_2$ der Impuls zum Zeitpunkt $t_2$ und $p_1$ der Impuls zum Zeitpunkt $t_1$ darstellen. Mathematiker schreiben dies so $p_2 = p(t_2)$ und $p_1 = p(t_1)$
  7. Die Gleichung $p2=p1$ bedeutet, dass sich der Impuls eines abgeschlossenen Systems mit der Zeit nicht ändert, d.h. $$\boxed{p(t) = \text{konstant}}$$Dies wird als Impulserhaltung bezeichnet.
  8. Die Impulserhaltung gilt immer unabhängig von Energieerhaltung. Deshalb ist sie wichtiger und nützlicher als die Energieerhaltung.
  9. Beispiel für Impulserhaltung
    Ein Astronaut (Masse $m_A = 100 [kg]$ wirft im All einen Hammer (Masse $m_H= 1[kg]$) mit einer Geschwindigkeit von $v_H = 20 [\frac m s]$ von sich weg. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der Astronaut nach dem Wurf?

    Die Impulserhaltung sagt, dass der Gesamtimpuls eines Systems ohne Einwirken von äußeren Kräften stets gleich bleibt.

    Impuls vor dem Wurf:
    Da wir nicht wissen, wie sich der Astronaut mit seinem Hammer vor dem Wurf bewegt hat, wählen wir ein Bezugssystem (d.h. ein Koordinatensystem), das sich mit dem Astronauten mitbewegt. In diesem Bezugssystem, haben der Astronaut und sein Hammer die Geschwindigkeit Null ($v_A = 0$ und $v_H=0$). Für den Impuls gilt: $$p_{vorher} = m_A \cdot v_A + m_H \cdot v_H = 0$$ Nach dem Wurf bewegt sich der Hammer mit $v_H = 20 [\frac m s]$ vom Astronauten weg. Der Gesamtimpuls des Systems, darf sich aber gemäß Impulserhaltung nicht verändert haben, d.h. $$p_{nachher} = m_A \cdot v_A + m_H \cdot v_H = 0$$ Formen wir diese Gleichung nach $v_A$ um und erhalten: $$v_A = – \frac {m_H \cdot v_H}{m_A}$$ Einsetzen der Werte ergibt: $$\begin{aligned} v_A &= – \frac {1 [kg] \cdot 20 [\frac m s]}{100 [kg]} \\ &= 0.2 [\frac m s] \end{aligned}$$ Das negative Vorzeichen der Geschwindigkeit besagt, dass sich der Astronaut in entgegengesetzter Richtung zum Hammer bewegt.
  10. Die Impulserhaltung ist eine direkte Folge der Homogenität des Raumes. Dies bedeutet, dass die physikalischen Gesetze unabhängig davon gelten, ob wir uns von Rechts nach Links, von Vorne nach Hinten, oder von Oben nach Unten bewegen.
    Für Streber der Nation: Dies wird als Invarianz der Naturgesetze gegenüber Raumdimensionen bezeichnet.

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Was ist der Impuls?

  1. Im Kapitel 1 haben wir gelernt, dass Raum und Zeit zwei grundlegende Eigenschaften bzw. Dimensionen unseres Universums repräsentieren.
  2. Wenn eine Kraft F ein Objekt um die Strecke s verschiebt, dann wird die Arbeit $W=F \cdot s$ verrichtet. Die Arbeit ist somit die Wirkung einer Kraft F im Raum (Strecke s).
  3. Was ist mit der Wirkung einer Kraft in der Zeit?
    Wenn eine Kraft F ein Objekt für die Dauer t verschiebt, dann wird der Impuls p auf das Objekt übertragen. Für den Impuls können wir (wie für die Arbeit) schreiben $$p=F \cdot t$$ Als Streber der Nation wissen wir, dass $F=ma$ (2. Newtonsche Gesetz, siehe Kapitel 2) und $a= \frac v t$ (die Beschleunigung, siehe Kapitel 1). Einsetzen liefert für den Impuls $$\begin{aligned} p &= F \cdot t \\ &= m \cdot a \cdot t \\ &= m \cdot \frac v t \cdot t \\&= m \cdot v \end{aligned}$$
  4. Nochmal zur Verdeutlichung:
    Wirkung einer Kraft im Raum $$Kraft \times Strecke = Arbeit (Energie)$$ Wirkung einer Kraft in der Zeit $$Kraft \times Zeit = Impuls$$
  5. Wie immer in der Physik müssen wir die Frage nach den Einheiten klären, um zu wissen was wir überhaupt messen. Für den Impuls gilt $$ F [N] \cdot t [s] = p [N \cdot s] = p [kg \cdot \frac m s]$$ Der Impuls hat also die Einheit [Ns] (Newtonsekunde).
  6. In der Delta-Schreibweise (s. Kapitel 1) können wir schreiben $$\Delta p = F \cdot \Delta t$$ bzw. $$\Delta p = m \cdot \Delta v$$

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