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Bewegung auf einer schiefen Ebene mit Reibung

  1. Eine schiefe Ebene, ist eine Oberfläche, die nicht parallel zur horizontalen Achse des Bezugssystems aufliegt, sondern einen bestimmten Winkel $\alpha$ mit der horizontalen Achse einschließt. Die schiefe Ebene wird also durch den Winkel $\alpha$ bestimmt!
    Schiefe Ebene
    Abbildung 1: Die relevanten Kräfte auf einer schiefen Ebene. $F_g$ ist die Gewichtskraft des Objekts, $F_P$ ist die Komponente der Gewichtskraft, die parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene zeigt, $F_N$ ist die Normalkomponente der Gewichtskraft, die senkrecht zur Oberfläche der schiefen Eben zeigt. $F_P$ und $F_N$ hängen stark vom Winkel $\alpha$ ab.
  2. Falls sich ein Objekt auf einer schiefen Ebene befindet, dann muss auch die Masse des Objekts, die zur Gewichtskraft $F= m \cdot g$ führt und immer zum Erdmittelpunkt zeigt berücksichtigt werden.
  3. Die obigen Punkte definieren uns auch gleichzeitig ein geeignetes Bezugssystem, um die Aufgaben zur schiefen Ebene zu lösen. Die x-Achse ist die horizontale waagerechte Achse parallel zur Erdoberfläche. Die y-Achse ist die senkrechte Achse, die entlang der Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt zeigt.

Betrachtung mit Haftreibung

  1. Wenn ein Objekt auf einer schiefen Ebene ruht, d. h. sich nicht bewegt, dann verwenden wir die Normalkomponente ($F_N$) der Gewichtskraft zur Bestimmung der Größe Haftreibung. Die Richtung der Haftreibung ist antiparallel zur Parallelkomponente ($F_P$) der Gewichtskraft.
  2. Falls die beschleunigende Kraft (hier die Parallelkomponenten der Gewichtskraft) größer ist als die Haftreibung, dann setzt sich das Objekt in Bewegung, d. h. $$\begin{aligned}F_P &> F_{Haft} \\ F_G \cdot sin (\alpha) &> \mu_H \cdot F_N \\ F_G \cdot sin (\alpha) &> \mu_H \cdot F_G \cdot cos (\alpha) \\ sin (\alpha) &> \mu_H \cdot cos (\alpha) \\ \frac{sin (\alpha)}{cos (\alpha)} &> \mu_H \\ tan(\alpha) &> \mu_H \end{aligned} $$ Die letzte Zeile besagt, dass sich ein Objekt auf einer schiefen Ebene erst dann in Bewegung setzt, wenn der Tangens des Winkels der schiefen Ebene größer ist als der Haftreibungskoeffizient des Objekts auf der schiefen Ebene. In dieser Ungleichung kommt die Masse m des Objekts überhaupt nicht vor. Dies bedeutet, dass die Masse des Objekts für die Betrachtung der Haftreibung auf einer schiefen Ebene irrelevant ist.
  3. Nimm dir einen Stift und ein Blatt Papier und versuche die Beziehung $tan (\alpha) > \mu_H$ selber herzuleiten. Das ist eine wichtige Übung und trainiert deine Fähigkeit mit Formeln umzugehen.

Betrachtung mit Gleitreibung

  1. Wenn sich ein Objekt auf einer schiefen Ebene bewegt, z. B. es rollt hinunter, dann verwenden wir die Normalkomponente ($F_N$) der Gewichtskraft zur Bestimmung der Größe Gleitreibung. Die Richtung der Gleitreibung ist antiparallel zur Parallelkomponente ($F_P$) der Gewichtskraft.
  2. Um die Effekte der Gleitreibung auf einer schiefen Eben zu betrachten benötigen wir die Gesamtkraft, d. h. die Summe aus der beschleunigenden Kraft (hier die Parallelkomponenten der Gewichtskraft) und der Gleitreibungskraft $F_{Gleit}$, d. h. $$\begin{aligned} F_P + F_{Gleit} &= m a \\ F_G \cdot sin (\alpha) + \mu_G \cdot F_N &= m a \\ F_G \cdot sin (\alpha) + \mu_G \cdot F_G \cdot cos (\alpha) &= m a \\ mg \cdot sin (\alpha) + \mu_G \cdot mg \cdot cos (\alpha) &= m a \\ g \cdot sin (\alpha) + \mu_G \cdot g \cdot cos (\alpha) &= a \\ g \cdot (sin (\alpha) + \mu_G \cdot cos (\alpha) ) &= a \end{aligned} $$ Die letzte Zeile beschreibt die Beschleunigung eines Objekts auf einer schiefen Ebene. Diese Gleichung besagt, dass die Masse des Objekts für die Beschleunigung irrelevant ist. Die Beschleunigung eines Objekts auf einer schiefen Ebene wird allein durch den Winkel der schiefen Ebene, den Gleitreibungskoeffizienten und die Erdbeschleunigung bestimmt. Auf dem Mond würden wir natürlich die Mondbeschleunigung einsetzen.
  3. Nimm dir einen Stift und ein Blatt Papier und versuche die Beziehung $g \cdot (sin (\alpha) + \mu_G \cdot cos (\alpha) )= a$ selber herzuleiten. Das ist eine wichtige Übung und trainiert deine Fähigkeit mit Formeln umzugehen.

Zur Lernkontrolle

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Haftreibung

  1. Wir stellen uns einen Betonblock mit der Masse 1000 [kg] vor. Nehmen wir an es existieren keine Reibungskräfte, d. h. der Betonblock steht auf einer imaginären reibungsfreien Fläche. Nun stellen wir uns einen Menschen (Masse 100 [kg]) vor, der ebenfalls reibungsfrei vor dem Betonblock steht. Das Trägheitsgesetz besagt, dass sich der Mensch und der Betonblock nicht bewegen werden, wenn keine Kraft auf sie wirkt.
  2. Nun pustet der Mensch den Betonblock an. Dadurch übt er eine Kraft auf den Betonblock, woraufhin sich der Betonblock zu bewegen beginnt. Das Reactio-Prinzip besagt, dass sich der Mensch ebenfalls in Bewegung setzt und zwar in die entgegengesetzte Richtung.
  3. Nun wiederholen wir dieses Gedankenexperiment mit einem Betonblock (Masse 1000 [kg]) und einen Menschen (Masse 100 [kg]), die sich auf einer asphaltierten Straße befinden. Der Mensch pustet wieder den Betonblock an. Was passiert?
    Gar nichts!
    Haftreibung und Gleitreibung
    Abbildung 1: a: Die Haftreibung wirkt auf ruhende Objekte, ist der Kraft $F_P$ entgegen gerichtet und hat die Länge der Normalvektor $F_N$
    b: Die Gleitreibung wirkt auf sich bewegenden Objekten, ist der Kraft $F_P$ entgegen gerichtet und hat die Länge der Normalvektor $F_N$
  4. Obwohl durch das Pusten eine Kraft auf den Menschen und auf den Betonblock ausgeübt wird, verhindert eine Kraft, dass sich diese in Bewegung setzen. Der Mensch und der Betonblock bleiben an der Straße haften. Deshalb wird diese Kraft als die Haftreibung bezeichnet.
  5. Ein Objekt, das Haftreibung unterliegt, muss zuerst diese überwinden, um von Ruhe aus beschleunigen zu können. Die Haftreibung wirkt nur auf ruhende Körper.
  6. Die Ursache der Haftreibung liegt in der Wechselwirkung zwischen den Molekülen, die die beiden Oberflächen bilden. Deshalb hängt auch die Größe der Haftreibung von den Materialien ab, die die Oberflächen bilden. Eis auf Gummi verursacht eine andere Haftreibung als Beton auf Asphalt.
  7. Experimente zeigen auch, dass Objekte, die schwerer sind, höhere Haftreibungskräfte produzieren. Beispiel: Ein Betonblock, die 10-Mal schwerer ist, ruft eine 10-Mal größere Haftreibungskraft hervor. Das Schwersein ist eine Folge der Gewichtskraft, die immer zum Erdmittelpunkt nach unten zeigt. In unserem Beispiel steht die Gewichtskraft senkrecht zur asphaltierten Straßenoberfläche. Kräfte, die senkrecht auf einer Fläche Zeigen, werden als Normalkräfte bezeichnet.
  8. Zusammenfassend zeigen Experimente, dass die Größe der Haftreibung von zwei Faktoren abhängt:
    • Die Oberflächenbeschaffenheit: Diese ist für unterschiedliche Materialien unterschiedlich und wird durch den sogenannten Haftreibungskoeffizienten $\mu_H$ dargestellt. Er wird für verschiedene Oberflächen durch Experimente gemessen und bestimmt. Man kann sie in Büchern nachschlagen.
    • Die Größe der Kraft senkrecht zur Oberfläche. Diese wird der Betrag der Normalkraft genannt und mit $\lvert \vec {F_N} \rvert$ dargestellt. Sehr häufig (aber nicht immer) handelt es sich um die Gewichtskraft oder bei schiefen Ebenen um eine Komponente der Gewichtskraft.
    • Für die Größe der Haftreibungskraft gilt also $$\boxed{F_H = \mu_H \cdot F_N}$$
    • Ein Objekt setzt sich in Bewegung, wenn die wirkende Kraft F größer ist als die Haftreibungskraft, d. h. $$\boxed{F > F_H }$$
  9. Nun kennen wir die Größe, d.h. den Betrag der Haftreibungskraft. Kräfte sind aber Vektoren und haben zusätzlich zu ihrem Betrag (d. h. ihre Länge) eine Richtung. Welche Richtung haben Haftreibungskräfte? Da Haftreibungskräfte verhindern, dass ruhende Objekte sich in Bewegung setzten, sind sie immer der bewegenden Kraft entgegen gesetzt. Wenn der Mensch den Betonblock von rechts nach links schiebt, dann zeigt die Haftreibung von links nach rechts.

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