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Was ist potenzielle Energie?

  1. Wenn eine Kraft F ein Objekt um die Strecke s verschiebt, dann wird die Arbeit $W=F \cdot s$ verrichtet.
  2. Wenn die Kraft F mit dem Verschieben fertig ist und nicht mehr auf das Objekt wirkt, ist die verrichtete Arbeit in Form von Energie E im Objekt gespeichert.
  3. Wenn die o. g. physikalische Arbeit in einem Raum statt findet, in dem keine andere Kräfte wirken, dann bewegt sich das Objekt, nach dem die treibende Kraft F entfernt wurde weiter (1. Newtonsche Gesetz). Die gespeicherte Arbeit liegt als Bewegungsenergie oder kinetische Energie $E_{kin}= \frac 1 2 m v^2$ vor.
  4. Sehr häufig finden physikalische Phänomene und Bewegungen in einem Kraftfeld statt. Zum Beispiel alles was sich auf der Erdoberfläche abspielt, unterliegt der Gewichtskraft $F= mg$. Dies gilt auf der Oberfläche von allen Planeten. Auch gibt es weitere Kräfte, wie z. B. die elektrische, die magnetische und die Federkraft. Was passiert mit der Arbeit, die in diesen Kraftfeldern stattfindet?
  5. Stellen wir uns einen Betonblock vor. Ein Kran hebt nun den Betonblock 5 [m] hoch. Dafür benötigt er die Kraft 1000 [N]. Somit verrichtet der Kran die Arbeit $W= 1000 [N] \cdot 5[m] = 5000 [J]$. Diese Arbeit ist gegen der Gewichtskraft des Blocks $F_G$ verrichtet!
  6. Wenn der Betonblock oben auf 5 [m] angekommen ist, liegt die verrichtete Arbeit von 5000 [J] als gespeicherte Energie vor. Nach dem Heben, hängt der Betonblock am Kran und bewegt sich nicht. Die Energie, die im Betonblock gespeichert ist, hat das Potenzial etwas zu bewegen und wieder als Arbeit freigesetzt zu werden. Das passiert, wenn man den Block los lässt. Er fällt runter und kann z. B. Zerstörungsarbeit leisten. Deshalb wird diese Energie als potenzielle Energie bezeichnet.
  7. Wichtig, potenzielle Energie gibt es nur dann, wenn die Arbeit GEGEN eine äußere Kraft (z. B. Gewichtskraft) verrichtet wird. Wird ein Betonblock im All jenseits der Erdanziehung bewegt, wird er sich nach Ende der Krafteinwirkung für immer weiter Bewegen (1. Newtonsche Gesetz) und die verrichtete Arbeit liegt in Form von kinetischer Energie (Bewegungsenergie) vor.
  8. Bleiben wir bei der potenziellen Energie, also die Energie eines Objekts, wenn es in einem Kraftfeld (z. B. Erdanziehung) befindet. Wie große die Potenzielle Energie ist, hängt von der Kraft $F$ und von der Verschiebungsstrecke $\Delta s$ ab. Es gilt $$E_{pot} = F \cdot s$$
  9. In der Delta-Schreibweise (s. Kapitel 1) können wir schreiben $$\Delta E_{pot} = F \cdot \Delta s$$
  10. Auf der Erde werden alle Objekte mit der Gewichtskraft $F=mg$ zum Erdmittelpunkt hingezogen. Wenn also ein Objekt entgegen der Gewichtskraft um eine Höhe $h$ hochgehoben wird, wird in ihm die Energie $$E_{pot} = F \cdot s = m g \cdot h$$ bzw. $$\Delta E_{pot} = m g \cdot \Delta h$$ gespeichert.

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Bewegung auf einer schiefen Ebene

  1. Eine schiefe Ebene, ist eine Oberfläche, die nicht parallel zur horizontalen Achse des Bezugssystems aufliegt, sondern einen bestimmten Winkel $\alpha$ mit der horizontalen Achse einschließt. Die schiefe Ebene wird also durch den Winkel $\alpha$ bestimmt!
    Schiefe Ebene
    Abbildung 1: Die relevanten Kräfte auf einer schiefen Ebene. $F_g$ ist die Gewichtskraft des Objekts, $F_P$ ist die Komponente der Gewichtskraft, die parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene zeigt, $F_N$ ist die Normalkomponente der Gewichtskraft, die senkrecht zur Oberfläche der schiefen Eben zeigt. $F_P$ und $F_N$ hängen stark vom Winkel $\alpha$ ab.
  2. Falls sich ein Objekt auf einer schiefen Ebene befindet, dann muss auch die Masse des Objekts, die zur Gewichtskraft $F= m \cdot g$ führt und immer zum Erdmittelpunkt zeigt berücksichtigt werden.
  3. Die obigen Punkte definieren uns auch gleichzeitig ein geeignetes Bezugssystem, um die Aufgaben zur schiefen Ebene zu lösen. Die x-Achse ist die horizontale waagerechte Achse parallel zur Erdoberfläche. Die y-Achse ist die senkrechte Achse, die entlang der Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt zeigt.

Betrachtung ohne Reibungskräfte

  1. Ein Objekt, das sich auf einer schiefen Ebene befindet, bewegt sich entlang dieser Ebene, obwohl die Gewichtskraft nach unten zeigt.
  2. Um die Bewegung eines Objekts entlang der schiefen Ebene zu berücksichtigen, benötigen wir also die Komponente (den Anteil) der Gewichtskraft ($F_G$), die parallel zur schiefen Ebene zeigt.
  3. Wir zerlegen also den Schwerkraftsvektor in eine Richtung parallel zur schiefen Ebene $\vec F_P$ und eine Richtung senkrecht $\vec F_S$ zur schiefen Ebene und erhalten für ihre Längen: $$ F_P = F_G \cdot sin (\alpha) $$ $$ F_N = F_G \cdot cos (\alpha) $$ Wobei für die Gewichtskraft gilt: $$ F_G = -mg $$ Für die Streber der Nation können wir natürlich auch diese Kraftkomponenten als Vektoren angeben und erhalten: $$ \vec F_P = F_G \cdot sin (\alpha) \cdot \begin{pmatrix} -cos (\alpha) \\ -sin(\alpha) \end{pmatrix} $$ $$ \vec F_N = F_G \cdot cos (\alpha) \cdot \begin{pmatrix} sin (\alpha) \\ -cos(\alpha) \end{pmatrix} $$ Wobei für die Gewichtskraft gilt: $$ \vec F_G = \begin{pmatrix} 0 \\ -mg \end{pmatrix} = m \cdot g \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} $$
  4. $\vec F_P$ ist wichtig für die Bewegung des Objekts auf der Ebene.
  5. $\vec F_N$ ist wichtig für die Berücksichtigung der Haft- und Gleitreibung auf der Ebene.

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Fall- und Wurfbewegungen verstehen

  1. Bei den Wurf- und Fallaufgaben wird das Verhalten eines Objekts unter dem Einfluss der Erdanziehung für bestimmte Anfangsgeschwindigkeiten untersucht.
  2. Die Erde zieht alle Körper mit einer Masse m mit der Gewichtskraft $$\boxed{F = m \cdot g}$$ an. Dabei zeigt die Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt, also nach unten.
  3. Wenn ein Objekt fallen gelassen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit gleich Null. Wir sprechen dann von einem freien Fall. Hierbei wirkt nur die Erdanziehung in Form der Gewichtskraft.
  4. Wenn ein Objekt geworfen wird, ist seine Anfangsgeschwindigkeit ungleich Null. Wir sprechen dann von einem Wurf. Erfolgt der Wurf senkrecht nach oben, dann sprechen wir von einem vertikalen Wurf nach oben. Wird das Objekt horizontal, d. h. parallel zur Erdoberfläche geworfen, so sprechen wir von einem horizontalen Wurf. Erfolgt der Wurf schief, so sprechen wir von einem schiefen Wurf.

Freier Fall

  1. Beim freien Fall, wirkt nur die Gewichtskraft nach unten. Es erfolgt keine Bewegung in horizontaler Richtung. Deshalb können wir das Problem in nur einer Dimension nämlich in der vertikalen Dimension (y-Achse) lösen (da sich ja in horizontaler Dimension nichts tut).
  2. Beim freien Fall, ist die Anfangsgeschwindigkeit gleich Null, d. h. $$\vec v_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
  3. Für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec v(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ -gt \end{pmatrix}$$
  4. Für die Position bzw. die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$\vec r(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ – \frac 1 2 gt^2 + y_0 \end{pmatrix}$$ Wobei $y_0$ die Starthöhe des Falls darstellt.
  5. Wie man sieht, ist für die Betrachtung des freien Falls nur die vertikale Komponenten (y-Richtung) des Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektors relevant. Deshalb machen wir uns das Leben einfach, in dem wir für den weiteren Verlauf das Problem in nur einer Dimension (y-Achse) betrachten und keine Vektoren verwenden.

Aufgabenbeispiele

  1. Wann wird die maximale Höhe erreicht?
    Beim freien Fall ist die maximale Höhe bereits am Anfang ($t=0$) gegeben, d.h. bei $t=0$. Danach fällt ja das Objekt nach unten, wobei die Höhe abnimmt.
  2. Wann erreicht das Objekt den Boden (auch Flugzeit $t_F$ genannt)?
    So, wie wir unser Bezugssystem gewählt haben, hat das Objekt am Boden die Höhe Null, d.h. $y (t_F)=0$, wobei $t_F$ die gesuchte Flugzeit oder Aufprallzeit darstellt. Für die Höhe (d.h. die vertikale Komponente des Positionsvektors) gilt $$- \frac 1 2 gt_{F}^2 + v_{0,y} t_F + y_0 = 0$$ Beim freien Fall ist die Startgeschwindigkeit Null, d.h. $v_{0,y} = 0$. Einsetzen liefert $$- \frac 1 2 gt_{F}^2 + y_0 = 0$$ Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit $-\frac 2 g$ und erhalten $$t_{F}^2 – \frac{2 y_0}{g} = 0$$ Dies ist eine quadratische Gleichung der Form $t^2+pt+q =0$ mit $p=0$ und $q=- \frac{2 y_0}{g}$, die wir mit der p-q-Formel lösen können $$t_{F} = \sqrt {\frac {2y_0}{g}}$$
    Ich empfehle dir diese Formel gar nicht auswendig zu lernen. Was du brauchst ist nur $y (t_F)=0$ für die Flugzeit und natürlich $y(t) = – \frac 1 2 gt^2 + v_{0,y} t + y_0$. Damit kannst du dir die Flugzeiten für alle möglichen Szenarien ausrechnen. Das musst du nur ein Paar Mal selbst üben und dann klappt es auch. Mach dir nicht das Leben so schwer indem du alle Formeln auswendig lernst. Lerne von den Physikern und beschränke dich nur auf die wichtigen Formeln, die meistens mit einem Kasten umrandet sind. Physiker sind alles faule Leute (ich übrigens auch). Sie wollen die ganze Welt mit nur einer einzigen Formel beschreiben! Alles andere wird hergeleitet, wenn und wie man es benötigt.
  3. Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Objekt den Boden (Aufprallgeschwindigkeit)?
    Für die vertikale Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gilt: $$ v(t) = -gt + v_{0,y} $$ Beim freien Fall ist die Startgeschwindigkeit Null, d.h.$v_{0,y} = 0$ Beim Aufprall gilt $t=t_F$, die wir oben berechnet haben. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Aufpralls lautet also $$v(t_F) = -gt_F $$ Einsetzen liefert $$v(t_F) = -g \sqrt {\frac {2y_0}{g}} $$ $$v(t_F) = -\sqrt{2 g y_0} $$

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