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Quadratische Gleichungen und Parabel

  1. Eine Gleichung, in der die unbekannte Variable den Exponenten eins besitzt, wird als eine lineare Gleichung bezeichnet. Die einfachste lineare Gleichung lautet $x = a$, Wobei $a$ jede beliebige Zahl sein kann. Zum Beispiel für $a=1$ würde die Gleichung folgendermaßen aussehen $x=1$. Diese Gleichung ist eine lineare Gleichung, da der unbekannte Variable $x$ den Exponenten eins trägt.
    Die grafische Darstellung linearer Funktionen resultiert in Geraden.
  2. Eine Gleichung, in der die unbekannte Variable den Exponenten zwei besitzt, wird als eine quadratische Gleichung bezeichnet. Die einfachste quadratische Gleichung lautet $x^2 = a$, Wobei $a$ jede beliebige Zahl sein kann. Zum Beispiel für $a=1$ würde die Gleichung folgendermaßen aussehen $x^2=1$ Diese Gleichung ist eine quadratische Gleichung, da der unbekannte Variable $x$ den Exponenten zwei trägt.
  3. Quadratische Gleichungen können auch lineare Terme enthalten, sodass eine quadratische Gleichung allgemein folgendermaßen ausschaut $$x^2+px+q=0$$ Die unbekannte Variable x lässt sich aus der p-q-Formel bestimmen $$x_{1,2}= -\frac p 2 \pm \sqrt{(\frac p 2)^2 -q}$$
  4. Eine Funktion, in der die unbekannte Variable den Exponenten zwei besitzt, wird als eine quadratische Funktion bezeichnet. Die einfachste quadratische Funktion lautet $$f(x) = x^2$$ Quadratische Funktionen können auch lineare Terme enthalten, sodass eine quadratische Funktion allgemeine folgendermaßen aussieht $$f(x) = ax^2+bx+c$$
  5. Wie kommt man nun von einer quadratischen Funktion zu einer quadratischen Gleichung?
    Ganz einfach, indem man die Funktion einem Wert gleichsetzt, z. B. $f(x) =0$ oder $f(x) =17$
    Mathematiker nennen x-Werte für die die Funktion den Wert Null annimmt (d. h. $f(x)=0$ wird) als Nullstellen. Wenn wir also die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ mit der p-q-Formel nach x auflösen, tuen wir nichts anders als die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^2+px+q$ zu bestimmen.
  6. Die grafische Darstellung von quadratischen Funktionen resultiert in so genannten Parabeln. Wenn die Parabel die x-Achse schneidet bzw. berührt reden wir von Nullstellen. Da quadratische Gleichungen keine, eine oder zwei Lösungen haben können, können auch quadratische Funktionen keine, eine oder zwei Nullstellen haben (Abbildung 1).
    Nullstellen von Parabeln
    Abbildung 1: Eine quadratische Funktion (Parabel) kann
    entweder die x-Achse überhaupt nicht berühren, d. h. sie besitzt keine Nullstellen (siehe Parabel a). In diesem Falls hat die entsprechende quadratische Gleichung f(x) = 0 keine Lösung,
    oder die x-Achse genau an einem Punkt berühren, d. h. sie besitzt genau eine Nullstelle (siehe Parabel b). Der Berührungspunkt mit der x-Achse ist gleichzeitig der Scheitelpunkt der Parabel. In diesem Falls hat die entsprechende quadratische Gleichung f(x) = 0 genau eine Lösung,
    oder die x-Achse in zwei Punkten berühren, d. h. sie besitzt zwei Nullstellen (siehe Parabel c). In diesem Falls hat die entsprechende quadratische Gleichung f(x) = 0 zwei Lösungen.
  7. Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen besitzen. Das hängt von der Zahl unter der Wurzel ab. Diese Zahl nennen wir das Delta ($\Delta$), d. h. $$\Delta = (\frac p 2)^2 -q $$ Bei $\Delta <0$ ist die Wurzel nicht definiert, sodass keine Lösung angegeben werden kann. Grafisch schneidet die Parabel die x-Achse nicht.
    Bei $\Delta = 0$ ist die Wurzel gleich Null, sodass nur eine Lösung angegeben werden kann, nämlich $x_1 = x_2= -\frac p 2$. Grafisch beruht die Parabel die x-Achse genau an einem Punkt.
    Für Streber der Nation: Diese Lösung wird auch als eine doppelte Nullstelle oder entartete Lösung bezeichnet.
    Bei $\Delta > 0$ ist die Wurzel positiv, sodass zwei Lösungen angegeben werden können, nämlich $x_{1,2}= -\frac p 2 \pm \sqrt{(\frac p 2)^2 -q}$. Grafisch schneidet die Parabel die x-Achse in zwei Punkten.

Beispiel: Bewegung mit konstanter Beschleunigung

  1. Eine der wichtigsten quadratischen Funktionen in der Physik ist die zurückgelegte Strecke $s$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ bei konstanter Beschleunigung $a$, d.h. $$s(t) = \frac 1 2 a t^2 + v_0 t + s_0$$ Wobei $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit und $s_0$ die Startstrecke bezeichnen.
  2. Bestes Beispiel für eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung ist die Bewegung auf der Erde. Die Erde übt auf allen Objekten, die sich auf ihrer Oberfläche befinden die Anziehungskraft $$F=mg$$ wobei $g \approx – 10 m/s^2$ die „konstante“ Erdbeschleunigung darstellt. Das Minus-Zeichen deutet an, dass die Erdbeschleunigung zum Erdmittelpunkt, also nach unten zeigt.

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Was ist eine Funktion?

  1. Betrachten wir die Geschwindigkeit $ v = \frac s t$. Umformung nach s liefert $s = v \cdot t$. Die Gleichung $s=v \cdot t $ besagt, dass die Strecke s von der Geschwindigkeit v und der Zeit t abhängt. Man sagt, die Strecke s ist eine Funktion der Zeit t und Geschwindigkeit v.
  2. In der Physik bedeutet eine Funktion nichts anderes als eine Abhängigkeit. Wenn eine Messgröße y von einer Messgröße x abhängt, dann schreiben wir dies so $y(x)$ und sprechen das als „Ypsilon von Ix“ aus.
  3. Für die Strecke können wir schreiben $s(t)$ aber auch $s(v)$, da die zurückgelegte Strecke sowohl von der Zeit $t$ als auch von der Geschwindigkeit $v$ abhängt. Wir können auch direkt $s(v,t)$ schreiben.
  4. Nehmen wir nun an, dass die Geschwindigkeit $v$ konstant ist, d. h. sie ändert sich nicht. In diesem Fall hängt die zurückgelegte Strecke nur von der Zeit $t$ ab (da sich ja $v$ nicht ändert). Man sagt, die Strecke $s$ ist eine Funktion der Zeit $t$ und schreibt $$s(t) = v \cdot t$$
  5. Einige Begriffe sind bei der Bezeichnung und Verwendung von Funktionen besonders hilfreich: $s(t) = v \cdot t$ ist eine Funktionsgleichung. Dabei sind s der Name der Funktion (hier Strecke oder Weg), t die unabhängige Variable (hier Zeit) und $ v \cdot t$ der Funktionsterm.
  6. Betrachten wir nun die Funktion $s(t) = v \cdot t$. Nehmen wir an die Geschwindigkeit $v$ beträgt 20 [m/s]. Die Funktionsgleichung sieht dann folgendermaßen aus $s(t) = 20 [m/s] \cdot t$. Wenn wir eine Zahl für t einsetzen, erhalten wir einen Funktionswert für s.
    • Beispiel: Der Wert der Funktion $s(t) = 20 [m/s] \cdot t$ für t = 5 [s] beträgt $s(t= 5 [s]) = 20 [m/s] \cdot 5 [s]$ also $s(5 [s]) = 100 [m]$.
    • Beispiel: Die Strecke, die ein Auto zurücklegt, ist durch die Funktion $s(t) = 20 [m/s] \cdot t$ definiert. Welche Strecke legt das Auto in 5 Sekunden zurück? Für t = 5 [s] beträgt die Strecke $s(t=5 [s]) = 20 [m/s] \cdot 5 [s]$ also $s(5 [s]) = 100 [m]$.
  7. In der Physik werden die meisten Messgrößen als Funktion von Elementargrößen Zeit t und Raum s angegeben.
  8. Wir können nun die Delta-Schreibweise auf Funktionen erweitern. Betrachten wir eine Funktion $s(t)$. Wir haben gelernt, dass $x$ als Funktionswert bezeichnet werden kann, wenn gilt $x = s(t)$. Betrachten wir nun zwei verschiedene Funktionswerte $x_1=s(t_1)$ und $x_2=s(t_2)$. Wir können schreiben $$\Delta s = s_2-s_1 = s(t_2)-s(t_1) =x_2 -x_1$$.
  9. Wir können jetzt eine Weg-Zeit-Funktion ableiten $$v = \frac {\Delta s(t)}{\Delta t} = \frac {S(t_2)-s(t_1)}{t_2-t1}$$ Die Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ sind zwei beliebige Werte, die sich i. d. R. aus der Aufgabenstellung ergeben. Wir können nun diese Gleichung vereinfachen, in dem wir unsere Stoppuhr bei der Zeitmessung immer bei $t_1$ auf Null stellen, d. h. $t_1 =0$. Dann erhalten wir $$v = \frac {S(t_2)-s(0)}{t_2}$$ Da wir jetzt nur noch $t_2$ haben, können wir anstatt $t_2$ auch einfach $t$ schreiben. Für $s(0)$ schreibt man auch vereinfacht $s_0$, es beschreibt also die Strecke, die ein Objekt zum Zeitpunkt $t=0$ bereits hinter sich hat. Dann erhalten wir $$v = \frac {s(t)-s_0}{t}$$ Für die Weg-Funktion gilt also $$\boxed{s(t) = v \cdot t + s_0}$$
  10. Wir können jetzt eine Geschwindigkeit-Zeit-Funktion ableiten $$a = \frac {\Delta v(t)}{\Delta t} = \frac {v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t1}$$ Die Zeitpunkte $t_1$ und $t_2$ sind zwei beliebige Werte, die sich i. d. R. aus der Aufgabenstellung ergeben. Wir können nun diese Gleichung vereinfachen, in dem wir unsere Stoppuhr bei der Zeitmessung immer bei $t_1$ auf Null stellen, d. h. $t_1 =0$. Dann erhalten wir $$a = \frac {v(t_2)-v(0)}{t_2}$$ Da wir jetzt nur noch $t_2$ haben, können wir anstatt $t_2$ auch einfach $t$ schreiben. Für $v(0)$ schreibt man auch vereinfacht $v_0$, es beschreibt die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$, also die Anfangsgeschwindigkeit. Dann erhalten wir $$a = \frac {v(t)-v_0}{t}$$ Für die Geschwindigkeit-Funktion gilt also $$\boxed{v(t) = a \cdot t + v_0}$$

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