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Kapitel1: Zusammenfassung

  1. Alles im Universum ist in ständiger Bewegung. Deshalb ist es für die Physik besonders wichtig Bewegungen zu verstehen.
  2. Eine Bewegung ist eine Positionsänderung gegenüber ein Bezugssystem. Theoretisch kann ein Bezugssystem beliebig gewählt werden. Falls sich das Bezugssystem mitbewegt kann eine Ruhe bzw. Stillstand simuliert werden.
  3. Eine Positionsänderung bzw. Bewegung produziert eine Strecke $\Delta s$, die die SI-Einheit Meter [m] besitzt.
  4. Für eine Positionsänderung bzw. Bewegung wird eine Zeit $\Delta t$ benötigt, die die SI-Einheit Sekunde [s] besitzt.
  5. Die Schnelligkeit einer Bewegung heißt Geschwindigkeit und wird mit dem Buchstaben $v$ bezeichnet.
    Als Momentangeschwindigkeit bezeichnen wir die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$. Es gilt: $$v [\frac m s] = \frac{s [m]}{t [s]}$$ Als mittlere Geschwindigkeit $\bar{v}$ bezeichnen wir die Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitraum $\Delta t$. Es gilt: $$\bar{v} [\frac m s] = \frac{\Delta s [m]}{\Delta t [s]}$$
  6. Falls sich die Momentangeschwindigkeit $v$ mit der Zeit nicht ändert, sprechen wir von einer konstanten Geschwindigkeit. Bei der konstanten Geschwindigkeit gilt $$v = \bar{v}$$ In diesem Fall verschwindet die Beschleunigung, d. h. $a=0$.
  7. Falls sich die Geschwindigkeit mit der Zeit ändert (d. h. sie ist nicht konstant), sprechen wir von einer beschleunigten Bewegung. Die Beschleunigung $a$ ist die Veränderung der Geschwindigkeit über die Zeit.
    Als Momentanbeschleunigung bezeichnen wir die Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$. Es gilt: $$ a [\frac{m}{s^2}] = \frac {v [m/s]}{ t [s]}$$ Als mittlere Beschleunigung bezeichnen wir die Beschleunigung in einem bestimmten Zeitraum $\Delta t$. Es gilt: $$\bar{a} [\frac{m}{s^2}] = \frac {\Delta v [m/s]}{\Delta t [s]}$$
  8. Falls sich die Momentanbeschleunigung $a$ mit der Zeit nicht ändert, sprechen wir von einer konstanten Beschleunigung. Bei der konstanten Beschleunigung gilt $$a = \bar{a}$$
  9. Wir können die Position $s$ eines sich bewegenden Objektes zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$ durch die Weg-Funktion $s(t)$ angeben. Es gilt $$ \boxed {s(t) = \frac 1 2 a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0}$$ Dabei ist $s_0$ die Position des Objekts zum Zeitpunkt $t=0$, d. h. $s_0 = s(0)$
    $v_0$ ist die Geschwindigkeit des Objekts zum Zeitpunkt $t=0$, d. h. $v_0 = v(0)$.
    $v_0$ wird auch die Anfangs- oder Startgeschwindigkeit genannt.
    $a$ ist die konstante Beschleunigung. Falls keine Beschleunigung existiert, d. h. $a=0$, dann gilt $$\boxed{s(t) = v \cdot t + s_0}$$
  10. Wir können die Geschwindigkeit $v$ eines sich beschleunigenden Objektes zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$ durch die Geschwindigkeit-Funktion $v(t)$ angeben. Es gilt $$ \boxed {v(t) =a \cdot t + v_0 }$$ Dabei ist $v_0$ die Geschwindigkeit des Objekts zum Zeitpunkt $t=0$, d. h. $v_0 = v(0)$.
    $v_0$ wird auch die Anfangs- oder Startgeschwindigkeit genannt.
    $a$ ist die konstante Beschleunigung. Falls keine Beschleunigung existiert, d. h. $a=0$, dann gilt $$v(t) = v_0 $$

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Strecke und Beschleunigung

Strecke und konstante Beschleunigung

  1. Welche Strecke wird im Falle konstanter Beschleunigung in Abhängigkeit der verstrichenen Zeit zurückgelegt? Die folgende Abbildung kann uns hierbei helfen.
    v-t-Diagramm
    Abbildung 1: v-t-Diagramm (v: konstant)
  2. Die Abbildung stellt die Geschwindigkeit $v$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ dar. Dabei ist die Geschwindigkeit konstant. Das sieht man daran, dass es sich bei der roten Linie um eine Gerade handelt.
  3. Wir suchen die zurückgelegte Strecke zu einem beliebigen Zeit $t$. Diese ist nichts anders als die Fläche zwischen der Gerade $v(t)$ und der t-Achse. Diese Fläche setzt sich aus zwei Formen zusammen:
    • Fläche $F_1$ ist ein Rechteck, das durch die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ festgelegt ist. Verändert sich $v_0$, dann ändert sich auch $F_1$. Es gilt $F1 = v_0 \cdot t$. (Das kennen wir bereits aus $s = v \cdot t$!)
    • Fläche $F_2$ ist ein Dreieck, das durch die Beschleunigung $a$ festgelegt ist. Aber warum? Nun ja für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt $$\begin{aligned} F_2 &=\frac 1 2 \text{ Höhe } \cdot \text{ Breite } \\ & = \frac 1 2 v \cdot t \quad \text{ mit } v= a \cdot t \\ &= \frac 1 2 a \cdot t^2 \end{aligned}$$
    • Nun setzen wir die Beiträge zusammen, d. h. $F_1 +F_2$ und erhalten für die zurückgelegte Strecke $$s(t) = \frac 1 2 a \cdot t^2 + v_0 \cdot t$$
    • Falls zum Zeitpunkt $t=0$ die Strecke nicht Null ist, d. h. $s(t=0) = s_0$, müssen wir diesen Beitrag auch mitberücksichtigen. Wir erhalten dann im Falle einer konstanten Beschleunigung für die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit $$\boxed {s(t) = \frac 1 2 a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0}$$
  4. Die folgende Abbildung zeigt die Funktion $s(t)$ für die konstante Beschleunigung. Da in dieser Funktion die Variable $t$ den Exponenten 2 hat (wegen $t^2$) sprechen wir von einer quadratischen Funktion.
    s-t-Diagramm
    Abbildung 2: s-t-Diagramm (a: konstant)
  5. Die graphische Darstellung einer quadratischen Funktion ergibt keine Gerade sondern eine Parabel. Den tiefsten Punkt dieser Parabel nennt man den Scheitelpunkt oder auch das Minimum. In unserem Fall hat der Scheitelpunkt die Koordinaten $(0, s_0)$.

Der freie Fall

  1. Die Erde beschleunigt alle Objekte mit $-9,8 [m/s^2]$. Diese Beschleunigung ist negativ, weil Sie immer nach unten (zum Erdzentrum) zeigt. Man nennt die Erdbeschleunigung $g$ und verwendet einfachheitshalber den Wert $g= -10 [m/s^2]$
  2. Ein Stein wird in einen Schacht fallen gelassen. Welche Tiefe erreicht der Stein nach 2 Sekunden?
    Für die zurückgelegte Strecke gilt $$s(t) = \frac 1 2 a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0$$ mit $a = g= -10 [m/s^2]$, $v_0 = 0$ (da kein Wurf) und $s_0 = 0$ (wir setzen die Erdoberfläche als Ausgangsposition)
    Nach $t=2 [s]$ hat der Stein folgende Strecke hinter sich $$\begin{aligned}s(2[s]) &= – \frac 1 2 (10 [m/s^2] \cdot 2^2 [s^2]) + 0 \cdot 2[s] + 0 [m] \\ &= -20 [m] \end{aligned}$$ Der Stein erreicht die Tiefe von 20 [m]. Das Minus-Vorzeichen besagt, dass sich der Stein unter der Erdoberfläche (unser Bezugssystem) befindet.

Der senkrechte Wurf

  1. Der senkrechte Wurf nach oben ist ähnlich dem freien Fall, mit dem Unterschied, dass durch den Prozess des Werfens für die Anfangsgeschwindigkeit gilt $v_0 \not = 0$.
  2. Ein Stein wird von einer Höhe von 10 [m] mit der Geschwindigkeit $v_0 = 20 [m/s]$ nach oben geworfen. Welche Höhe erreicht der Stein nach 2 Sekunden?
    Für die zurückgelegte Strecke gilt $$s(t) = \frac 1 2 a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0$$ mit $a = g= -10 [m/s^2]$, $v_0 = 20 [m/s]$ (durch das Werfen) und $s_0 = 10 [m]$ (Ausgangshöhe)
    Nach $t=2 [s]$ hat der Stein die Strecke $$\begin{aligned}s(2[s]) &= – \frac 1 2 (10 [m/s^2] \cdot 2^2 [s^2]) + 20 [m/s] \cdot 2[s] + 10 [m] \\ &= -20 [m] + 40 [m] +10[m] &=30 [m] \end{aligned}$$ Der Stein erreicht die Höhe von 30 [m].

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Das Weg-Zeit-Diagramm

  1. Betrachten wir die Weg-Funktion $s(t) = v \cdot t +s_0$. Die Variable $t$ hat den Exponenten 1. In diesem Fall sprechen wir von einer linearen Funktion. Lineare Funktionen haben allgemein die Form $y (x) = m \cdot x +b$, wobei $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt repräsentieren. Falls $b=0$ ist, dann läuft die Gerade durch den Ursprung $O(0,0)$.
  2. Die Weg-Funktion $s(t) = v \cdot t + s_0$ beschreibt mathematisch eine Gerade, die die s-Achse bei $s_0$ schneidet und die Steigung $v$ hat.
  3. Die Geschwindigkeit ist die Steigung der Weg-Funktion!
  4. Lineare Funktionen stellen Geraden dar. Es gibt zwei Möglichkeiten eine Gerade zu beschreiben:
    • Durch zwei Punkte $(t_1,s_1)$ und $(t_2,s_2)$.
    • Durch einen Punkt $(t_0,s_0)$ und eine Steigung $v$

Konstante Geschwindigkeit

  1. Die folgende Abbildung zeigt verschiedene Diagramme für die zurückgelegte Strecke $s(t)$ in Abhängigkeit der verstrichenen Zeit $t$.
    s-t-Diagramm
    Abbildung 1: s-t-Diagramm (v: konstant)
  2. Falls $v=0$, dann bewegt sich ein Objekt nicht und verharrt für immer auf seine Position $s_0$. Dies ist durch die blauen Gerade dargestellt.
  3. Falls $v \not = 0$ und das Objekt befindet sich zum Zeitpunkt $t=0$ bei $s_0 = 0$, dann stellt die Streckenfunktion $s(t)$ eine Gerade, die durch den Ursprung geht und die Gleichung $s(t) = v \cdot t$ hat (braune Gerade).
  4. Falls $v \not = 0$ und das Objekt befindet sich zum Zeitpunkt $t=0$ bei $s_0$, dann stellt die Streckenfunktion $s(t)$ eine allgemeine Gerade mit der Steigung $v$ und der Schnittpunkt mit der s-Achse bei $s_0$ (rote Gerade).

Konstante Beschleunigung

  1. Die gleichen Überlegungen, wie für $s(t)$ bei konstanter Geschwindigkeit gelten für die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ bei konstanter Beschleunigung.
  2. Die folgende Abbildung zeigt verschiedene Diagramme für die Geschwindigkeit $v(t)$ in Abhängigkeit der verstrichenen Zeit $t$.
    v-t-Diagramm
    Abbildung 2: v-t-Diagramm (a: konstant)
  3. Falls $a=0$, dann bewegt sich ein Objekt mit konstanter Anfangs-Geschwindigkeit $v_0$. Dies ist durch die blauen Gerade dargestellt.
  4. Falls $a \not = 0$ und das Objekt bewegt sich zum Zeitpunkt $t=0$ mit der Geschwindigkeit $v_0 = 0$, dann stellt die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ eine Gerade, die durch den Ursprung geht und die Gleichung $v(t) = a \cdot t$ hat (braune Gerade).
  5. Falls $a \not = 0$ und das Objekt bewegt sich zum Zeitpunkt $t=0$ mit der Geschwindigkeit $v_0$, dann stellt die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ eine allgemeine Gerade mit der Steigung $a$ und der Schnittpunkt mit der v-Achse bei $v_0$ (rote Gerade).

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Was ist Beschleunigung?

  1. Die Beschleunigung ist eine Geschwindigkeitsänderung. Dabei kann die Geschwindigkeit zunehmen (wenn ein Auto beschleunigt), abnehmen (wenn ein Auto bremst) oder sich die Bewegungsrichtung ändern (wenn eine Kurve gefahren wird).
  2. Die Beschleunigung hängt von der Zeit t ab, in der sich die Geschwindigkeit v ändert.
  3. Um die Beschleunigung a zu bestimmen, wird die Geschwindigkeitsänderung v durch die hierzu benötigte Zeit t dividiert, d. h. $$a=\frac{v}{t}$$
  4. Die Einheit der Beschleunigung lässt sich aus ihrer Definition ableiten: $$a=\frac{\text{Geschwindigkeit} [\frac{m}{s}]}{\text{Zeit} [s]}=[\frac{m/s}{s}] = [\frac{m} {s^2}]$$ Die Beschleunigung hat somit die Einheit Meter pro Sekundenquadrat.
  5. Beispiel: Ein Auto benötigt 10 Sekunden, um seine Geschwindigkeit um 100 [m/s] zu erhöhen. Seine Beschleunigung beträgt: $a=\frac{v}{t} = \frac{100 [m/s]}{10 [s]}$ , d. h. 10[$m/s^2$].
  6. In der Delta-Schreibweise gilt für die Beschleunigung (analog zur Definition von Geschwindigkeit): $$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$ $$a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$$
  7. Wenn sich die Geschwindigkeit nicht ändert (d. h. sie bleibt konstant), dann gilt für die Beschleunigung: $$a=\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac {0}{\Delta t} = 0$$Die Beschleunigung ist bei konstanter Geschwindigkeit gleich Null.

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