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Wie kann man Summen vereinfachen?

  1. Betrachten wir ein Glas Wasser mit Milliarden Wassermolekülen. Wie lautet die Gesamtenergie dieses Systems? Ganz einfach, die Gesamtenergie ist die Summe der Energien der einzelnen Wassermoleküle.
  2. Die kinetische Energie eines Wassermoleküls lautet $$E=\frac 1 2 m v^2$$Wenn wir viele Moleküle haben, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, müssen wir diese voneinander unterscheiden. Hierfür benutzen wir einen Index. Der Index (Mehrzahl Indizes) ist eine laufende Nummer.
  3. Beispiel: in einem Glas Wasser hat das erste Molekül die kinetische Energie $E_1 = \frac 1 2 m_1 v_1^2$ und das achte Molekül die kinetische Energie $E_8 = \frac 1 2 m_8 v_8^2$
    Hier sind die Zahlen 1 und 8 die Indizes.
  4. Welches Molekül welchen Index (d.h. welche Nummer) trägt, ist uns überlassen und i.d. R. für große Systeme egal!
  5. Wenn wir von der kinetischen Energie eines beliebigen Wassermoleküls sprechen, ersetzen wir den Index durch eine Buchstabe z. B. i. Dann lautet die kinetische Energie eines beliebigen Wassermoleküls $$E_i = \frac 1 2 m_i v_i^2$$
  6. Wie lautet aber nun die Gesamtenergie des Systems?
    Ganz einfach, wir addieren alle kinetische Energien, d.h. $$E_{ges} = E_1 +E_2 +E_3 +E_4 + … +E_N$$Wobei N das letzte Wassermolekül ist.
    Einsetzen liefert: $$E_{ges} = \frac 1 2 m_1 v_1^2 + \frac 1 2 m_2 v_2^2 + \frac 1 2 m_3 v_3^2 + … + \frac 1 2 m_N v_N^2 $$
  7. Schon beim Schreiben dieser Summe habe ich keine Lust mehr auf Mathe und Physik. Als Mathematiker und Physiker sind wir faule Socken und möchten uns das Leben so einfach wie möglich gestalten. Aus diesem Grund benutzen wir eine einfache Schreibweise für lange Summen, nämlich $$\boxed{\sum_{i=1}^{i = 3} A_i = A_1 +A_2 +A_3}$$Die Summe aller $A_i$ von 1 bis 3 ist $A_1+A_2+A_3$.
  8. $\Sigma$ ist der griechische Großbuchstabe Sigma.
  9. Beispiel: $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{i = 3} i^2 &= 1^2 +2^2 +3^2 \\ &= 1 + 4+ 9 = 15 \end{aligned}$$
  10. Wie wir wissen, gilt: $$A_1 +A_2 +A_3 = A_3 +A_2 +A_1$$ deshalb können wir schreiben: $$\sum_{i=1}^{i = 3} A_i = \sum_{i=3}^{i = 1} A_i$$Die obere und untere Grenze einer Summe können vertauscht werden.
  11. Weiterhin wissen wir, dass: $$bA_1 +bA_2 +bA_3 = b(A_1 +A_2 +A_3)$$ Dies bedeutet, dass: $$\sum_{i=1}^{i = 3} bA_i = b \sum_{i=1}^{i = 3} A_i$$Ein Faktor kann aus der Summe ausgeklammert werden, wenn er in ALLEN Termen vorkommt.
  12. Eine Summe kann geteilt werden $$A_1 + A_2 +A_3 + A_4 = (A_1 + A_2) +(A_3 + A_4)$$ Es gilt also: $$\sum_{i=1}^{i = 4} A_i = \sum_{i=1}^{i = 2} A_i + \sum_{i=3}^{i = 4} A_i$$
  13. Für die Gesamte kinetische Energie eines Glas Wassers können wir also schreiben.$$E_{ges} = \frac 1 2 m_1 v_1^2 + \frac 1 2 m_2 v_2^2 + \frac 1 2 m_3 v_3^2 + … + \frac 1 2 m_N v_N^2 $$ $$E_{ges} = \sum_{i=1}^{i = N} \frac 1 2 m_i v_i^2 $$Und da alle Wassermoleküle die gleiche Masse haben, gilt $m_i = m$, d.h. $$E_{ges} = \sum_{i=1}^{i = N} \frac 1 2 m v_i^2 $$ $$E_{ges} = \frac 1 2 m \sum_{i=1}^{i = N} v_i^2 $$Und dies ist die elegante Darstellung einer Summe über mehrere Milliarden Terme!

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