Verwendung der Energieerhaltung bei Wurfbewegungen

  1. In Kapitel 4 haben wir gelernt, warum in einem abgeschlossenen System, die Energie erhalten bleibt. In dieser Lektion werden wir die Anwendung der Energieerhaltung auf diverse Wurfaufgaben üben. Folgende Begriffe und Größen musst du kennen:
      Kinetische und potenzielle Energie (Kapitel 4)
      Wurf- und Fallbewegungen (Kapitel 3) und
      trigonometrische Funktionen (Kapitel 3)
  2. Betrachten wir nun die Energieerhaltung bei einem schiefen Wurf
  3. Beispiel: Schiefer Wurf
    In einem lustigen Videospiel haben Sie die Möglichkeit verärgerte Vögel als Kanonenkugel zu verwenden, um damit extrem faule aber geniale Schweine zu zerstören. Ein Vogel wird in die Kanone gelegt und mit $v= 20 [m/s]$ in einem Winkel von $\alpha = 30 \degree$ auf die Schweine gefeuert. Welche maximale Höhe erreicht der Vogel?

    Gegeben und gesucht:
    Die Startgeschwindigkeit $v_0=20[m/s]$ und der Schusswinkel $\alpha = 30 \degree$ sind bekannt. Gesucht ist die maximale Höhe.

    Passende Formel:
    In Kapitel 3 haben wir gelernt, dass bei einem schiefen Wurf die Geschwindigkeit des Geschosses aus zwei Komponenten besteht.
    Es gibt eine horizontale Geschwindigkeitskomponente, die parallel zur x-Achse läuft ($v_x$). Diese Geschwindigkeit ist währende der gesamten Wurfzeit konstant.
    Zusätzlich gibt es eine vertikale Geschwindigkeitskomponente, die parallel zur y-Achse zeigt ($v_y$). Diese Geschwindigkeitskomponente wird von der Erdbeschleunigung beeinflusst und verändert sich kontinuierlich.
    Zwischen der Gesamtgeschwindigkeit $v$ und $v_x$ und $v_y$ gilt: $$v^2 = v_x^2 + v_y^2$$Für die Anfangsgeschwindigkeit, d. h. die Geschwindigkeit beim Verlassen der Kanone gilt zusätzlich $$\begin{aligned} v_x &= v_0 \cdot \cos \alpha \\ v_y &= v_0 \cdot \sin \alpha \end{aligned}$$ Unten beim Verlassen des Kanonenlaufs hat das Objekt nur die kinetische Energie $$\begin{aligned} E_{kin0} &= \frac 12 m v_0^2 \\ &= \frac 12 m (v_x^2 + v_y^2)\end{aligned}$$ Die Maximale Höhe ist der Punkt an dem die vertikale Geschwindigkeit verschwindet, d. h. $v_y=0$. An diesem Punkt hat das Objekt sowohl die potenzielle als auch die kinetische Energie, d. h. $$\begin{aligned} E_{kin1} + E_{pot} &= \frac 12 m v_x^2 + mgh \end{aligned}$$ Die Energieerhaltung besagt, dass die Gesamtenergie zu jederzeit konstant bleibt, d. h. die Gesamtenergie ist zu Beginn und am höchsten Punkt gleich $$E_{kin0} = E_{kin1} + E_{pot}$$ An dieser Stelle sind wir mit Physik fertig. Was jetzt folgt ist nur Mathematik und hat nichts mit Physik zu tun!
    Einsetzen der jeweiligen Formeln und Umformung nach Höhe $h$, die ja gesucht ist, liefert: $$\begin{aligned} E_{kin0} &= E_{kin1} + E_{pot} \\ \frac 12 m (v_x^2 + v_y^2) &= \frac 12 m v_x^2 + mgh \\ \frac 12 v_x^2 + \frac 12 v_y^2 &= \frac 12 v_x^2 + gh \\ \frac 12 v_y^2 &= gh \\ v_y^2 &= 2gh \\ h &= \frac {v_y^2} {2g} \\ h &= \frac {(v_0 \cdot \sin \alpha)^2} {2g} \end{aligned}$$ Nochmal: Wenn du eine gute Note haben möchtest, solltest du in der Lage sein die obige Gleichung ohne Fehler umzuformen. Mein Vorschlag: Mach diese Umformung selber mehrere Male hintereinander.

    Berechnung:
    Einsetzen liefert $$\begin{aligned} h &= \frac {(v_0 \cdot \sin \alpha)^2} {2g} \\ &= \frac {(20 [m/s] \cdot \sin 30 \degree)^2} {2 \cdot 10 [m/s^2]} \\ &= \frac {(20 [m/s] \cdot 0.5)^2} {20 [m/s^2]} \\ &= \frac {100 [m^2/s^2]} {20 [m/s^2]} \\ &= 5 [m] \end{aligned}$$ Nochmal zur Erinnerung: Wenn du eine gute Note haben möchtest, solltest du in der Lage sein die obige Gleichung ohne Fehler aufzustellen (Physik), umzuformen (Mathematik) und die Zahlen einzusetzen (Mathematik). Mein Vorschlag: Löse diese Aufgabe mehrere Male hintereinander.

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