Verwendung der Energieerhaltung bei Fallvorgängen

  1. Die Energieerhaltung besagt, dass die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems stets gleich bleibt. Das ist nicht selbstverständlich, denn die Energie könnte ja auch theoretisch vernichtet werden oder aus dem Nichts entstehen! So ist es aber nicht.
  2. In Kapitel 4 haben wir gelernt, warum in einem abgeschlossenen System, die Energie erhalten bleibt. In dieser Lektion werden wir die Anwendung der Energieerhaltung auf diverse Fall- und Wurfaufgaben üben. Folgende Begriffe und Größen musst du kennen:
      Kinetische und potenzielle Energie (Kapitel 4)
      Wurf- und Fallbewegungen (Kapitel 3) und
  3. Betrachten wir zuerst die Energieerhaltung in ihrer einfachsten Form: $E_{pot} = E_{kin}$
  4. Beispiel 1: Freier Fall
    Ein Ball wird aus $20 [m]$ Höhe fallen gelassen. Welche Geschwindigkeit erreicht er beim Aufprall?

    Gegeben und gesucht:
    Die Starthöhe $h=20[m]$ ist angegeben. Gesucht ist die Aufprallgeschwindigkeit, d. h. die Geschwindigkeit bei $h=0[m]$ oder schöner geschrieben: gesucht ist $v(0[m])$.

    Passende Formel:
    Oben hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot}= mgh$
    Unten hat das Objekt nur die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$
    Die Energieerhaltung besagt, dass $E_{pot} = E_{kin}$. An dieser Stelle sind wir mit Physik fertig. Was jetzt folgt ist nur Mathematik und hat nichts mit Physik zu tun!
    Einsetzen der jeweiligen Formeln liefert $$mgh = \frac 12 m v^2$$ Gesucht ist ja die Geschwindigkeit $v$. Umformung der Gleichung nach $v$ liefert $$v=\sqrt {2gh}$$ Wenn du eine gute Note haben möchtest, solltest du in der Lage sein die obige Gleichung ohne Fehler umzuformen. Mein Vorschlag: Mach diese Umformung selber 10 Mal hintereinander.

    Berechnung:
    Einsetzen liefert $$\begin{aligned} v&= \sqrt {2gh} \\ &= \sqrt {2 \cdot 10 [m/s^2] \cdot 20 [m]} \\ &= \sqrt{400 [m^2/s^2]} \\ &= 20 [m/s] \end{aligned}$$
  5. Nun schauen wir uns die Geschwindigkeit des Balls während des Falls an. Während des Falls wird die potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, d. h. der Ball hat sowohl potenzielle als auch kinetische Energie.
  6. Beispiel 2: Freier Fall
    Ein Ball wird aus $20 [m]$ Höhe fallen gelassen. Welche Geschwindigkeit hat er, wenn er sich $5 [m]$ über dem Boden befindet?

    Gegeben und gesucht:
    Die Starthöhe $h_0=20[m]$ ist angegeben. Gesucht ist seine Geschwindigkeit in einer Höhe von $h_1=5[m]$ oder schöner geschrieben: gesucht ist $v(5[m])$.

    Passende Formel:
    Oben hat das Objekt nur die potenzielle Energie $E_{pot0}= mgh_0$
    Unterwegs, d. h. bei der Höhe $h_1$ hat das Objekt sowohl die potenzielle Energie $E_{pot1}= mgh_1$ als auch die kinetische Energie $E_{kin}= \frac 12 m v^2$
    Die Energieerhaltung besagt, dass die Gesamtenergie zu jeder Zeit konstant bleibt, d.h. $E_{pot0} = E_{pot1}+E_{kin}$. An dieser Stelle sind wir mit Physik fertig. Was jetzt folgt ist nur Mathematik und hat nichts mit Physik zu tun!
    Einsetzen der jeweiligen Formeln liefert $$mgh_0 = mgh_1 + \frac 12 m v^2$$ Gesucht ist ja die Geschwindigkeit $v$. Nun formen wir die Gleichung nach $v$ um $$\begin{aligned} mgh_0 &= mgh_1 + \frac 12 m v^2 \\ gh_0 &= gh_1 + \frac 12 v^2 \\ \frac 12 v^2 &= gh_0 – gh_1 \\ v^2 &=2g(h_0 – h_1) \\ v &= \sqrt{2g(h_0 – h_1)} \end{aligned}$$ Wenn du eine gute Note haben möchtest, solltest du in der Lage sein die obige Gleichung ohne Fehler umzuformen. Mein Vorschlag: üben, üben, üben.

    Berechnung:
    Einsetzen liefert $$\begin{aligned} v &= \sqrt{2g(h_0 – h_1)} \\ &= \sqrt {2 \cdot 10 [m/s^2] \cdot (20 [m] -5 [m])} \\ &= \sqrt{300 [m^2/s^2]} \\ &= 17,3 [m/s] \end{aligned}$$
  7. Falls ein Objekt bereits zu Beginn des Falls eine Anfangsgeschwindigkeit hat, dann sprechen wir von einem senkrechten Wurf nach oben oder unten. In diesen Fällen hat das Objekt zu Beginn sowohl kinetische als auch potenzielle Energie.

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