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Berechnung von geraden elastischen Stößen (1)

  1. Bei einem geraden Stoß bewegen sich die Stoßpartner vor und nach dem Stoß entlang einer Gerade. Wir benötigen also keine vektorielle Betrachtung der Größen durchzuführen.
  2. Bei einem elastischen Stoß bleiben die kinetischen Energien der Stoßpartner vor und nach dem Stoß erhalten.
  3. Nun möchten wir das Verhalten der Stoßpartner nach dem Stoß vorhersagen. Zuerst die Physik. Wir bezeichnen die Stoßpartner mit a und b, ihre Massen mit $m_a$ und $m_b$ und ihre Geschwindigkeiten vor dem Stoß mit $v_a$ und $v_b$. Alle diese Angaben sind vorhanden. Die Geschwindigkeiten der Stoßpartner nach dem Stoß sind unbekannt und wir nennen diese $u_a$ für den Stoßpartner a und $u_b$ für den Stoßpartner b.
  4. Die Impulserhaltung besagt, dass der Gesamtimpuls vor dem Stoß $p_{vorher}$ gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß $p_{nachher}$ ist, d. h. $$p_{vorher} = p_{nachher}$$ Der Gesamtimpuls ist die Summe der Impulse der beiden Stoßpartner (a und b), also $$m_a v_a + m_b v_b = m_a u_a + m_b u_b$$
  5. Die Erhaltung der kinetischen Energien besagt, dass die kinetische Energie des Systems vor dem Stoß $E^{kin}_{vorher}$ gleich der kinetischen Energie des Systems nach dem Stoß $E^{kin}_{nachher}$ ist, d. h. $$E^{kin}_{vorher} = E^{kin}_{nachher}$$ Die kinetische Energie des gesamten Systems ist die Summe der kinetischen Energien der beiden Stoßpartner (a und b), also $$\frac 1 2 m_a v_a^2 + \frac 12 m_b v_b^2 = \frac 1 2 m_a u_a^2 + \frac 1 2 m_b u_b^2$$
  6. An dieser Stelle ist vorerst die Physik vorbei. Wir benötigen nun Mathematik, um die zwei Gleichungen nach $u_a$ und $u_b$ aufzulösen. Hier nochmal die Gleichungen: $$\boxed{ \begin{aligned} m_a v_a + m_b v_b &= m_a u_a + m_b u_b \\ \frac 1 2 m_a v_a^2 + \frac 12 m_b v_b^2 &= \frac 1 2 m_a u_a^2 + \frac 1 2 m_b u_b^2 \end{aligned} }$$
  7. Durch mathematische Operationen können wir nun $u_a$ und $u_b$ bestimmen. Klicke auf diesen Text, wenn du eine ausführliche Erläuterung haben möchtest.
  8. Zuerst bringen wir alle Terme, die mit dem Stoßpartner a zutun hat auf die linke Seite und alle Terme, die den Stoß b betreffen auf die rechte Seite. Hier nochmal die Gleichungen: $$\begin{aligned} m_a v_a – m_a u_a &= m_b u_b – m_b v_b \\ \frac 1 2 m_a v_a^2 – \frac 1 2 m_a u_a^2 &= \frac 1 2 m_b u_b^2 – \frac 12 m_b v_b^2 \end{aligned} $$
  9. Nun klammern wir in beiden Gleichungen die Massen aus. Hier nochmal die Gleichungen: $$\begin{aligned} m_a (v_a – u_a) &= m_b ( u_b – v_b) \\ \frac 1 2 m_a (v_a^2 – u_a^2) &= \frac 1 2 m_b (u_b^2 – v_b^2) \end{aligned} $$
  10. In der zweiten Gleichung können wir $\frac 1 2$ auf beiden Seiten wegkürzen. Hier nochmal die Gleichungen: $$\begin{aligned} m_a (v_a – u_a) &= m_b ( u_b – v_b) \\ m_a (v_a^2 – u_a^2) &= m_b (u_b^2 – v_b^2) \end{aligned} $$
  11. Jetzt dividieren wir die untere Gleichung durch die obere Gleichung und erhalten: $$\frac {m_a (v_a^2 – u_a^2)}{m_a (v_a – u_a)} = \frac{m_b (u_b^2 – v_b^2)}{m_b ( u_b – v_b)} $$
  12. Wir kürzen die Massen und erhalten: $$\frac { (v_a^2 – u_a^2)}{ (v_a – u_a)} = \frac{ (u_b^2 – v_b^2)}{ ( u_b – v_b)} $$
  13. Auf beiden Seiten jeweils im Zähler schreiben wir die 3. binomische Formel aus: $$v_a^2-u_a^2 = (v_a-u_a) (v_a+u_a)$$ und erhalten: $$\frac { (v_a – u_a)(v_a + u_a)}{ (v_a – u_a)} = \frac{ (u_b – v_b)(u_b + v_b)}{ (u_b – v_b)} $$
  14. Herrlich! Nun können wir ganze Klammern aus den Zählern und Nennern kürzen und erhalten: $$v_a + u_a= u_b + v_b$$
  15. Umformung nach der unbekannten Geschwindigkeit $u_b$ ergibt: $$ u_b = v_a + u_a – v_b $$ Wir können natürlich auch nach $u_a$ umformen!
  16. Wir setzen diese $u_b$ in die Impulsgleichung: $$ m_a v_a + m_b v_b = m_a u_a + m_b u_b $$ ein und bekommen: $$\begin{aligned} m_a v_a + m_b v_b &= m_a u_a + m_b (v_a + u_a – v_b) \\ m_a v_a + m_b v_b &= m_a u_a + m_b v_a + m_b u_a – m_b v_b \end{aligned}$$ Selbstverständlich könnten wir auch $u_b$ in die Energiegleichung einsetzen, aber das würde alles wegen den quadratischen Termen verkomplizieren, und wir sind von Natur aus faul!
  17. Nun lösen wir diese Gleichung nach $u_a$ auf: $$\begin{aligned} m_a u_a + m_b v_a + m_b u_a – m_b v_b &= m_a v_a + m_b v_b \\ m_a u_a + m_b u_a &= m_a v_a + m_b v_b – m_b v_a + m_b v_b \\ u_a (m_a + m_b) &= (m_a – m_b) v_a + 2m_b v_b \end{aligned}$$
  18. Eine ähnliche Vorgehensweise kann auch für $u_b$ verwendet werden.
  19. Für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß gilt also: $$\boxed{\begin{aligned} u_a &=\frac{ 2m_b v_b +(m_a – m_b) v_a}{(m_a + m_b)} \\ \\ u_b &=\frac{ 2m_a v_a +(m_b – m_a) v_b}{(m_a + m_b)} \end{aligned}}$$ An dieser Stelle sind wir mit Mathematik fertig und können wieder Physik betreiben. Dafür klopfen wir uns auf die Schulter 😄 und belohnen uns z. B. durch eine Tasse Kaffee, eine Runde Zocken und was immer man so mag.