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Berechnung von geraden elastischen Stößen (2)

  1. Bei einem geraden Stoß bewegen sich die Stoßpartner vor und nach dem Stoß entlang einer Gerade. Wir benötigen also keine vektorielle Betrachtung der Größen durchzuführen.
  2. Bei einem elastischen Stoß bleiben die kinetischen Energien der Stoßpartner vor und nach dem Stoß erhalten.
  3. Nun möchten wir das Verhalten der Stoßpartner nach dem Stoß vorhersagen. Wir bezeichnen die Stoßpartner mit a und b, ihre Massen mit $m_a$ und $m_b$ und ihre Geschwindigkeiten vor dem Stoß mit $v_a$ und $v_b$. Alle diese Angaben sind vorhanden. Die Geschwindigkeiten der Stoßpartner nach dem Stoß sind unbekannt und wir nennen diese $u_a$ für den Stoßpartner a und $u_b$ für den Stoßpartner b.
  4. Anwendung der Impuls- und Energieerhaltung liefert für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß: $$\boxed{\begin{aligned} u_a &=\frac{ 2m_b v_b +(m_a – m_b) v_a}{(m_a + m_b)} \\ \\ u_b &=\frac{ 2m_a v_a +(m_b – m_a) v_b}{(m_a + m_b)} \end{aligned}}$$
  5. Betrachten wir nun einige Beispiele, wie uns diese zwei Gleichungen helfen können. Die Berechnungen sind simpel und werden deshalb nicht ausführlich dargestellt. Nichtsdestotrotz sollst du dir die Zeit nehmen um diese Berechnungen jeweils mindestens 3 Mal schriftlich durchzuführen, denn diese könnten in Prüfungen und Klausuren abgefragt werden 😄.
  6. Fall A: Stoßpartner haben die gleiche Masse und ein Stoßpartner (Objekt b) ruht. Mathematisch bedeutet dies, dass $m_a=m_b$ und für das ruhende Objekt b gilt $v_b=0$. Einsetzen in die oberen Gleichungen liefert: $$\begin{aligned} u_a & = 0 \\ u_b &= v_a \end{aligned}$$ Nach dem Stoß bleibt also das stoßende Objekt stehen ($u_a=0$) und das ruhende Objekt bewegt sich mit der Geschwindigkeit des stoßenden Objekts ($u_b = v_a$) weiter. Konkret kann man sich das Billardspiel vorstellen. Dabei haben alle Bälle die gleiche Masse und es wird mit dem weißen Ball auf ruhende Bälle geschossen. Falls der Stoß zentral erfolgt, bleibt der weiße Ball stehen und der gestoßene Ball bewegt sich mit der Geschwindigkeit des weißen balls vor dem Stoß weiter.
  7. Fall B: Stoßpartner haben die gleiche Masse und bewegen sich nicht gleicher Geschwindigkeit aufeinander zu. Mathematisch bedeutet dies, dass $m_a=m_b$ und $v_a=-v_b$. Einsetzen in die oberen Gleichungen liefert: $$\begin{aligned} u_a &= – v_b \\ u_b &=v_a \end{aligned}$$ Nach dem Stoß vertauschen die Stoßpartner ihre Geschwindigkeiten und bewegen sich mit gleicher Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen voneinander weg. Konkret kann man sich das Billardspiel vorstellen. Dabei haben alle Bälle die gleiche Masse. Wenn nun zwei Bälle mit gleicher Geschwindigkeit frontal zusammenstoßen, dann prallen sie aneinander ab und bewegen sich mit der ursprüngliche Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen voneinander weg.
  8. Fall C: Ein Stoßpartner hat eine sehr viel größere Masse und ruht (Objekt a). Mathematisch bedeutet dies, dass $m_a >> m_b$ und $v_a=0$. Wir machen dies noch extremer indem wir annehmen, dass das ruhende Objekt eine unendliche Masse hat, d. h. $m_a = \infty$. Einsetzen in die oberen Gleichungen liefert: $$\begin{aligned} u_a &=0 \\ u_b &= – v_b \end{aligned}$$ Nach dem Stoß bleibt das unendlich schwere Objekt weiterhin in Ruhe ($u_a=0$). Das sich bewegende Objekt aber prallt zurück und bewegt sich mit seiner ursprünglichen Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtung weiter. Konkret kann man sich eine Mauer und einen Ball vorstellen. Der leichte Ball prallt (unter Vernachlässigung von Reibungsverlusten) mit seinem ursprünglichen Geschwindigkeit an die Mauer ab.
  9. Fall D: Ein Stoßpartner hat eine sehr viel größere Masse (Objekt a) und der andere Stoßpartner ruht (Objekt b). Mathematisch bedeutet dies, dass $m_a >> m_b$ und $v_b=0$. Einsetzen in die oberen Gleichungen liefert: $$\begin{aligned} u_a &= v_a \\ u_b &= 2 v_a \end{aligned}$$ Nach dem Stoß bewegt sich das sehr schwere Objekt a mit unveränderter Geschwindigkeit weiter ($u_a = v_a$). Das ruhende leichte Objekt b bewegt sich in die gleiche Richtungen, wie das Objekt a, aber mit doppelter Geschwindigkeit von Ihm weg ($u_b = v_a$). Ein gutes Beispiel hierfür ist der Golfsport. Der Schläger ist jeweils sehr schwer und bewegt sich, während der Ball ruht. Nach dem Schlag bewegt sich der Schläger zuerst weiter und der Ball fliegt mit einem höheren Geschwindigkeit als der Schläger in die gleiche Richtung weg (wir vernachlässigen hierbei die beschleunigende und bremsende Einflüsse des Spielers).